『 平方根のある問題から学ぶこと ３ 』
○ （平方根のある問題から学ぶこと ２ の宿題）とその（解答）
次の文はすべて誤っています。
主語に下線があるものは、その部分に修飾語をつけて正しい文に、
補語に下線があるものは、その部分を訂正して正しい文にしてください。
（１） 素数 は 2 である。
（２） 4 の約数は 2 である。
（３） 偶数 は 2 である。
（４） 奇数 は 3 である。
（５） 2 と 3 の公倍数 は 6 である。
（６） 無理数 は √2 である。
（数学だけど、言葉の問題については、意外と国語辞典が役に立ちます。）
（解答）
（１） 素数 は 2 である。
素数は、｛ 1 とその数自身のほかに約数をもたない数｝です。ただし、1 は素数ではない。
素数は無限にあるので最大の素数は存在しません。
よってすべての素数を書き出すことはできません。
ひと桁の素数のみ書き出してみます。
2 , 3 , 5 , 7 , ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
2 は 最小の素数 です。
また最小の素数 は 2 のみです。
修飾語の「 最小の 」を付けて
答えは、最小の素数 は 2 である。
（２） 4 の約数は 2 である。
その数を割り切れる正の整数を、その数の約数というから、
約数は有限です。そこで割りきれる数と商を求めます。
( 1 , 4 )
( 2 , 2 )
よって答えは、4 の約数は ｛ 1 , 2 , 4 ｝ である。
別の答えは、4 の約数は 4 を割り切れる正の整数 である。
（３） 偶数 は 2 である。
偶数は無限にあるから、すべて書き出すことはできません。
それで偶数をどのように表現するか考えます。
0 から 数個 書き出してみて、
0 , 2 , 4 , 6 , 8 , ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
偶数は、2 の整数倍。
答えは、偶数 は 2 の倍数 である。
別の答えは、偶数 は 2m である。 ただし m は整数。
さらに別の答えは、偶数 は 2 で割り切れる整数 である。
（４） 奇数 は 3 である。
奇数も無限にあるから、すべて書き出すことはできません。
整数は、必ず偶数か奇数かのどちらかであって、
偶数であり かつ 奇数であるもの は存在しません。
偶数でなく かつ 奇数でないもの も存在しません。
1 から 数個 書き出してみて、
1 , 3 , 5 , 7 , 9 , ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
答えは、奇数 は 偶数ではない正の整数 である。
別の答えは、奇数 は 2m＋1 である。 ただし m は整数。
さらに別の答えは、奇数 は 2 で割ると 1 余る 正の整数 である。
（５） 2 と 3 の公倍数 は 6 である。
2 と 3 の公倍数は無限にあります。小さい方から４つ書き出します。
6 , 12 , 18 , 24 , ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・ ・
6 は ｛ 2 と 3 の公倍数｝の最小数です。
また｛ 2 と 3 の公倍数｝の最小数は 6 のみです。
修飾語の「 最小 」を付けて
答えは、 2 と 3 の最小公倍数 は 6 である。
（６） 無理数 は √2 である。
無理数は無限にあります。
一般に「｛どうしても √ (根号) がはずれない数｝ は 無理数 である。」と言われます。
しかし、
この文の 主語｛どうしても √ (根号) がはずれない数｝ と 補語(無理数) を入れ替えた
「 無理数 は ｛どうしても √ (根号) がはずれない数｝ である。」は正しい文ではありません。
無理数には、｛どうしても √ (根号) がはずれない数｝ 以外に
超越数 π（円周率）や e （自然対数の底）などがあります。
実数は、必ず有理数か無理数かのどちらかであって、
有理数であり かつ 無理数であるもの は存在しません。
有理数でなく かつ 無理数でないもの も存在しません。
また、
有理数は分数で表すことができますが、無理数はできません。
答えは、無理数 は 有理数ではない実数 である。
別の答えは、無理数 は 分数で表すことができない実数 である。
さらに別の答えは、無理数 は 循環しない無限小数 である。
☆ 十分条件 ・ 必要条件の判別ポイントは、
｛主語が補語に含まれるだけなのか、補語が主語に含まれるだけなのか｝です。
主語 A が 補語 B に含まれるとき、かつ補語 B が 主語 A に含まれないとき、
「 A は B である。」という文は正しい。
またこのとき、「 A は B である ための 十分条件 である。」と言います。
主語 A が 補語 B に含まれないとき、かつ補語 B が 主語 A に含まれるとき、
「 A は B である。」は誤り。
またこのとき、「 A は B である ための 必要条件 である。」と言います。
例１ 「 225 の平方根 は 15 である ための 何条件 ですか？」
225 の平方根 を求めると、±15 になるから、
主語の「 225 の平方根 」は「±15」で、補語の「 15 」に含まれない。
補語の「 15 」は、主語の「 225 の平方根 」に含まれる。
よって、「 225 の平方根 は 15 である ための （ ① ）。」
例２ 「 225 の平方根 は ±15 である ための 何条件 ですか？」
主語の「 225 の平方根 」は「±15 」で、補語の「±15 」に含まれる。
補語の「±15 」は、主語の「 225 の平方根 」に含まれる。
よって、「 225 の平方根 は 15 である ための （ ② ）。」
例３ 「 225 の平方根 は ±17 である ための 何条件 ですか？」
主語の「 225 の平方根 」は「±15」で、補語の「±17」に含まれない。
補語の「±17」は、主語の「 225 の平方根 」に含まれない。
よって、「 225 の平方根 は ±17 である ための （ ③ ）。」
例４ 「 15 は 225 の平方根 である ための 何条件 ですか？」
主語の「 15 」は、補語の「 225 の平方根 」に含まれる。
補語の「225 の平方根」は、主語の「 15 」に含まれない。
よって、「 15 は 225 の平方根 である ための （ ④ ）。」
①,②,③,④に入る適切な語句を判断してください。答えは、一番下（一番最後）にあります。
主語 A が 補語 B に含まれるとき、かつ補語 B が 主語 A に含まれるとき、
「 A は B である。」という文は正しい。
またこのとき、「 A は B である ための 必要十分条件 である。」と言います。
「 A は B に 同値 である。」とも言います。
主語 A が 補語 B に含まれないとき、かつ補語 B が 主語 A に含まれないとき、
「 A は B である。」は誤り。
またこのとき、「 A は B である ための 必要条件 でも 十分条件 でもない。」と言います。
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ３ の宿題 )
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) 121 の平方根は 11 である ための（ ）。
(２) √9 の平方根は ±3 である ための（ ）。
(３) ±9 は 81 平方根である ための（ ）。
(４) 1 の平方根は ±1 である ための（ ）。
(５) 2 は 4 の平方根である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
解答は、補講『 平方根のある問題から学ぶこと ４ 』に掲載します。
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（ 例 １ , ２ , ３ , ４ の 答え ）
① 必要条件である
② 必要十分条件である
③ 必要条件でも十分条件でもない
④ 十分条件である