『 平方根のある問題から学ぶこと ４ 』
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ３ の宿題 ) と その（解答）
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) 121 の平方根は 11 である ための（ ）。
(２) √9 の平方根は ±3 である ための（ ）。
(３) ±9 は 81 平方根である ための（ ）。
(４) 1 の平方根は ±1 である ための（ ）。
(５) 2 は 4 の平方根である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
（解答） （１） ① （２） ④ （３） ③ （４） ③ （５） ②
(１) 121 の平方根は 11 である ための（ ）。
主語の「 121の平方根 」は「 ±11 」で、補語の「 11 」に含まれない。
補語は主語に含まれる。必要条件
(２) √9 の平方根は ±3 である ための（ ）。
主語の「 √9 の平方根 」は「±√3 」で、補語の「 ±3 」に含まれない。
補語は主語に含まれない。
(３) ±9 は 81 平方根である ための（ ）。
主語の「 ±9 」は、補語の「 81 の平方根 」に含まれる。
補語は主語に含まれる。必要十分条件
「 ±9 」は、「 81 の平方根 」に 同値 である。
(４) 1 の平方根は ±1 である ための（ ）。
主語の「 1 の平方根 」は、補語の「 ±1 」に含まれる。
補語は主語に含まれる。必要十分条件
「 1 の平方根 」は、「 ±1 」に 同値 である。
(５) 2 は 4 の平方根である ための（ ）。
主語の「 2 」は、補語の「 4 の平方根 」に含まれる。
補語は主語に含まれない。十分条件
☆ 文「 A は B である。」が 正しい文である ために
「 2 は 素数 である。」 ・・・ [１]
「 2 は 144 の約数 である。」 ・・・ [２]
「 2 は 8 立方根 である。」 ・・・ [３]
「 2 は 4 の平方根 である。」 ・・・ [４]
「 2 は ±2 である。」 ・・・ [５]
[１] から [５] の文は正しいでしょうか。
[１] 素数は、｛ 1 とその数自身のほかに約数をもたない数｝です。
よって、2 は 素数 に含まれるから、[１] の文は正しい。
[２] 144 の約数は、
｛ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 12 , 16 , 18 , 24 , 36 , 48 , 72 , 144 ｝です。
よって、2 は 144 の約数 に含まれるから、[２] の文は正しい。
[３] 8 の立方根 は、立方（３乗）すると 8 になる数で、３つあります。（高校数学の内容）
2 を３乗すると 8 になるから、2 は 8 の立方根 に含まれる。
よって、[３] の文は正しい。
[４] 4 の平方根 は、平方（２乗）すると 4 になる数で、２つあります。（中３数学の内容）
2 を２乗すると 4 になるから、2 は 4 の平方根 に含まれる。
よって、[４] の文は正しい。
[５] ±2 は 2 と －2 です。よって 2 は ±2 に含まれるから、[５] の文は正しい。
しかし、
これは、あまりにも当たり前すぎて、文脈（前後関係）があるならまだしも
わざわざ単文で語る必要のないものです。（情報量はほとんどない）
「 2 は ±2 である。」を「 2 は ±2 に含まれる。」と解釈するからこそ正しいのであって、
次の解釈では、誤りになります。
私たちは、日常
「 2 は ±2 である。」 を 「 2 は ±2 に等しい。」,「 2 ＝±2 である。」 と解釈し
「 2 は ±2 である。」 と言われると、
「 それは誤りで正しくは、2 は 2 である。」 と言い返したくなります。
つまり、「 （数） は （数） である。 」 という文は、
「 （数） は （数） に等しい。 」 あるいは 「 （数） ＝ （数） である。 」 と
解釈するのが普通です。
「 1＋1 は 2 である。」 ・・・ [６]
「 2×1 は ±2 である。」 ・・・ [７]
「 8－2×5 は －2 である。」 ・・・ [８]
「 2 は 2 である。」 ・・・ [９]
これらは、正しいでしょうか。
[６] 「 1＋1 は 2 に等しい。」「 1＋1 ＝ 2 である。」と解釈し、1＋1 を計算すると 2 になるから、
[６] の文は正しい。
[７] 「 2×1 は ±2 に等しい。」「 2×1 ＝ ±2 である。」と解釈し、
2×1 を計算すると 2 になるから、[７] の文は誤り。
[８]「 8－2×5 は －2 に等しい。」「 8－2×5 ＝ －2 である。」と解釈し、8－2×5 を計算する
8－2×5
＝ 8－10
＝ －2 となり、[８] の文は正しい。
[９] [９] の文は正しい。
「 2 は 2 である。」 のように、
「 A は A である。」 という文は、A がなんであっても常に正しく誤ることのない文です。
あまりにも当たり前すぎて、文脈（前後関係）があるならまだしも
わざわざ単文で語る必要のないものです。
（情報量がゼロ）つまり意味がない。
「（式） は （数） である。」 という文は、「（式） は （数） に等しい。」 と解釈し、
（式）が計算できる場合、その計算結果と（数）が等しいかどうか判断します。
（問） 次の文で正しいものには○をつけ、誤っているものは下線部を直しなさい。
① 1＋1 は ±2 である。
② √9 は ±3 である。
③ √(－4)² は ±4 である。
④ (－√7)² は ±7 である。
解答は、一番下（一番最後）にあります。
文「 A は B である。」が 正しい文である と判断するために、
・ A が B に含まれる
・ A と B は等しい
など A と B の関係 を捉えることが大切です。
文「 A は B である。」の A と B の関係を捉えるために、
「 A は B である ための（ 必要 ・十分 ・必要十分 ）条件」を活用しましょう。
A と B の関係を捉えるために必要なのは、
1. 「 A は B である。」という文全体の意味
2. 「 A は B である。」という文に含まれる 単語・句 の意味
です。
要するに、
文「 A は B である。」の正誤判断は、今のところ 言語の意味 に基づいてなされています。
もう１つ、A と B の関係を捉えるために必要なものがありますが。
今のところ必要ありません。
○ （ 平方根のある問題から学ぶこと ４ の宿題 )
次の（ ）に入る適切な語句を下から選んでください。
(１) x²＝121 は x＝11 である ための（ ）。
(２) 二等辺三角形 は 三角形 である ための（ ）。
(３) 二等辺三角形 は ２辺の長さが等しい三角形 である ための（ ）。
(４) 三角形 は 四角形 である ための（ ）。
(５) ab＝0 は a＝0 または b＝0 である ための（ ）。
(６) 正三角形 は 二等辺三角形 である ための（ ）。
(７) x＝3 は x²－x－6＝0 である ための（ ）。
(８) xy＝1 は x＝y＝1 である ための（ ）。
(９) t＝2 は t²－4t＋4＝0 である ための（ ）。
① 必要条件ではあるが、十分条件ではない
② 必要条件ではないが、十分条件である
③ 必要条件であり、十分条件でもある
④ 必要条件でもないし、十分条件でもない
解答は、補講『 平方根のある問題から学ぶこと ５ 』に掲載します。
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十分条件・必要条件・必要十分条件の判別は、
主語部分 と 補語部分 の包含関係を考えることです。
だから、
「主語」と「補語」と「含まれる」という言葉が使えないと、
十分条件 ・ 必要条件 ・ 必要十分条件 の判別は、難しいのです。
（問の答え） ① 2 ② 3 ③ 4 ④ 7