『 １次関数 ㉜ 』 底辺×高さ×1/2 と 線分比
○ AB ＝ 10 cm, BC ＝ 8 cm, CA ＝ 6 cm の 直角三角形A B C がある。
動点P は一定の速さ 毎秒 2 cm で点A から 辺AB と 辺BC を通って 点C まで 移動する。
x 秒後の△P C A の面積を y cm² とするとき、y を x で表せ。
一定の速さ 毎秒 2 cm で x 秒 移動すると 移動距離は 2 × x より 2 x cm である
辺AB上に動点P があるとき、 AP ＝ 2 x cm になる
△CAP と △CAB は 底辺AP と 底辺AB が 同一直線上 にあり、高さ が同じだから
その面積比 は 底辺の長さの比 に等しい
△CAP ： △CAB ＝ AP ： AB ＝ 2 x ： 10
△CAPの面積 の △CABの面積に対する割合は 2 x / 10 ＝ 1/5 x である
△CABの面積は 6 × 8 × 1/2 より 24 cm² だから
△CAPの面積は 24 × 1/5 x より 24/5 x
また動点P は 一定の速さ 毎秒 2 cm で点A から 点B まで 移動するので
10 / 2 より 5 秒
よって
0 ≦ x ≦ 5 である ( x の範囲を求めた )
y ＝ 24/5 x ( 0 ≦ x ≦ 5 )
辺BC上に動点P があるとき、 ABP ＝ 2 x cm より
CP ＝ ( 18－2 x ) cm になる
CA ⊥ CP なので
△P C A の面積 は 6 × ( 18－2 x ) × 1/2 より ( 54－6 x ) cm² である
また動点P は 一定の速さ 毎秒 2 cm で点B から 点C まで 移動するので
8 / 2 より 4 秒
点B まで 移動するのに既に 5 秒かかっているので
5 ≦ x ≦ 9 である ( x の範囲を求めた )
y ＝－6 x ＋ 54 ( 5 ≦ x ≦ 9 )
よって （答え） y ＝ 24/5 x ( 0 ≦ x ≦ 5 )
y ＝－6 x ＋ 54 ( 5 ≦ x ≦ 9 )
○ AD // BC で
AB ＝ 15 cm, BC ＝ 24 cm, CD ＝ 9 cm, DA ＝ 12 cm の 台形A B C D がある。
動点P は一定の速さ 3 cm/秒 で
点D から 辺DC と 辺CB そして 辺BA を通って 点A まで 移動する。
x 秒後の△P D A の面積を y cm² とするとき、y を x で表せ。
一定の速さ 3 cm/秒 で x 秒 移動すると 移動距離は 3 × x より 3 x cm である
辺DC上に動点P があるとき、 DP ＝ 3 x cm になる
DA ⊥ DP なので
△P D A の面積は 12 × 3 x × 1/2 より 18 x cm²
また一定の速さ 3 cm/秒 で点D から 点C まで 移動するので
9 / 3 より 3 秒
よって
0 ≦ x ≦ 3 である ( x の範囲を求めた )
y ＝ 18 x ( 0 ≦ x ≦ 3 )
辺CB上に動点P があるとき、 DCP ＝ 3 x cm になり PB ＝( 33－3 x ) cm
動点P から 直線DA に 垂線をひきその足をH とすると PH ＝ CD ＝ 9 cm
DA ⊥ PH なので
△P D A の面積は 12 × 9 × 1/2 より 54 cm²
また一定の速さ 3 cm/秒 で点C から 点B まで 移動するので
24 / 3 より 8 秒
点C まで 移動するのに既に 3 秒かかっているので
3 ≦ x ≦ 11 である ( x の範囲を求めた )
y ＝ 54 ( 3 ≦ x ≦ 11 )
辺BA上に動点P があるとき、 DCBP ＝ 3 x cm になり PA ＝( 48－3 x ) cm
△DAP と △DAB は 底辺AP と 底辺AB が 同一直線上 にあり、高さ が同じだから
その面積比 は 底辺の長さの比 に等しい
△DAP ： △DAB ＝ AP ： AB ＝( 48－3 x ) ： 15
△DAPの面積 の △DABの面積に対する割合は (48－3 x) / 15 ＝ (16－x) / 5 である
△DABの面積は 12 × 9 × 1/2 より 54 cm² だから
△DAPの面積は 54 × (16－x) / 5 より 864/5－54/5 x
また動点P は 一定の速さ 3 cm/秒 で点B から 点A まで 移動するので
15 / 3 より 5 秒
点B まで 移動するのに既に 11 秒かかっているので
11 ≦ x ≦ 16 である ( x の範囲を求めた )
y ＝－54/5 x ＋ 864/5 ( 11 ≦ x ≦ 16 )
よって （答え） y ＝ 18 x ( 0 ≦ x ≦ 3 )
y ＝ 54 ( 3 ≦ x ≦ 11 )
y ＝－54/5 x ＋ 864/5 ( 11 ≦ x ≦ 16 )
◎ AB ＝ 15 cm, BC ＝ 14 cm, CA ＝ 13 cm の 三角形A B C がある。
点A から 辺BC に垂線をひきその足をH とすると、AH ＝ 12 cm である。
動点P は、点C から 辺CA を 一定の速さ 毎秒 1 cm で 点A まで、
点A から 辺AB を 一定の速さ 毎秒 5 cm で 点B まで 移動する。
x 秒後の△P B C の面積を y cm² とするとき、y を x で表せ。
辺CA上に動点P があるとき、1 × x より CP ＝ x cm
△BCP と △BCA は 底辺CP と 底辺CA が 同一直線上 にあり、高さ が同じだから
その面積比 は 底辺の長さの比 に等しい
△BCP ： △BCA ＝ CP ： CA ＝ x ： 13
△BCPの面積 の △BCAの面積に対する割合は x / 13 である
△BCAの面積は 14 × 12 × 1/2 より 84 cm² だから
△BCPの面積は 84 × x / 13 より 84/13 x
また動点P は 一定の速さ 毎秒 1 cm で点C から 点A まで 移動するので
13 / 1 より 13 秒
よって
0 ≦ x ≦ 13 である ( x の範囲を求めた )
y ＝ 84/13 x ( 0 ≦ x ≦ 13 )
辺AB上に動点P があるとき、
C から A を経て 現地点(P) まで移動するのにかかった時間は x 秒
C から A まで移動するのにかかった時間は 13 秒
よって、A から 現地点(P) まで移動するのにかかった時間は (x－13) 秒
すると AP ＝ 5 (x－13) cm より PB ＝ 15－5 (x－13) ＝ (80－5 x) cm
△CPB と △CAB は 底辺PB と 底辺AB が 同一直線上 にあり、高さ が同じだから
その面積比 は 底辺の長さの比 に等しい
△CPB ： △CAB ＝ PB ： AB ＝ (80－5 x) ： 15 ＝ (16－x) ： 3
△CPBの面積 の △CABの面積に対する割合は (16－x) / 3 である
△CABの面積は 84 cm² だから
△CPBの面積は 84 × (16－x) / 3 ＝ 448－28 x
また動点P は 一定の速さ 毎秒 5 cm で点A から 点B まで 移動するので
15 / 5 より 3 秒
点A まで 移動するのに既に 13 秒かかっているので
13 ≦ x ≦ 16 である ( x の範囲を求めた )
y ＝－28 x ＋ 448 ( 13 ≦ x ≦ 16 )
よって （答え） y ＝ 84/13 x ( 0 ≦ x ≦ 13 )
y ＝－28 x ＋ 448 ( 13 ≦ x ≦ 16 )
『 線分比 から 面積比 そして 面積の割合 』 という流れは、
中３数学の「 平行線と比 」でも役に立ちます。
今回で 『 １次関数 』 は終了です。
この全３２ 回 の『 １次関数 』が定期テスト、高校入試 そして 高校数学 に役立ちますように。