⑰ 『 命題 仮定と結論 』
○ 次の[ ] に適切な語句・式などを入れてください。
（ 定 義 ）
二等辺三角形 ： ２辺 の長さが等しい三角形
正三角形 ： [３辺] の長さが等しい三角形
平行四辺形 ： [２組] の対辺がそれぞれ 平行 である四角形
長方形 ： ４つの[角] が等しい四角形
ひし形 ： ４つの[辺] が等しい四角形
正方形 ： ４つの角 が等しく、４つの辺 が等しい四角形
三角形 ： [３本] の直線で囲まれた(平面) 図形
正五角形 ： [５つ]の角 が等しく、[５つ]の辺 が等しい五角形
台形 ： [１組] の対辺が 平行 である四角形
言葉のもつ概念をうまく使って、描けそうなものはできるだけかいて、
さまざまな図形を把握しましょう。
三角形の [ 辺 ] に注目すれば、二等辺三角形 や 正三角形 は把握しやすいでしょう。
さまざまな四角形を把握するためには、辺や角についての条件を少しずつ加えながら 実際に描きましょう。
四角形（辺 と 角 についての条件がない）を、
まず、辺 の位置関係に注目し、１組の向かいあう辺を [平行] したら [ 台形 ] に、
２組の向かいあう辺を [平行] したら [ 平行四辺形 ] になる。
次に、角 の大きさに注目し、４つの角を等しくしたら [ 長方形 ] に、
辺 の [ 長さ ] に注目し、４つの辺を等しくしたら [ ひし形 ] になる。
そして、４つの角 を等しく、４つの辺 を等しくしたら [ 正方形 ] になる。
○ 次の文のうち、適切なものには ○ を、不適切なものには × をつけなさい。
(1) ○ 「 正方形 は、４つの角が等しく ４つの辺が等しい四角形 である。」
これは、正方形の定義だから。
(2) ○ 「 正方形 は、四角形 である。」
この命題は、正しい。
正方形は、四角形（の仲間）に含まれるから。
(3) × 「 ４つの角が等しい四角形 は、正方形 である。」
この命題は、正しくない。
主語の部分 「４つの角が等しい四角形」 は、定義より、「長方形」 を表している。
長方形は、正方形（の仲間）に含まれないから。
よって、適切な文に書き換えると、
「４つの角が等しい四角形は、長方形 と 正方形 である。」 か
「４つの角が等しい四角形は、長方形 である。」（これは定義） になる。
(4) × 「 ４つの辺が等しい四角形 は、正方形 である。」
この命題は、正しくない。
主語の部分 「４つの辺が等しい四角形」 は、定義より、「ひし形」 を表している。
ひし形は、正方形（の仲間）に含まれないから。
よって、適切な文に書き換えると、
「４つの辺が等しい四角形は、ひし形 と 正方形 である。」 か
「４つの辺が等しい四角形は、ひし形 である。」（これは定義） になる。
(5) ○ 「 正方形 は、４つの辺が等しい四角形 である。」
この命題は、正しい。
補語の部分の 「４つの辺が等しい四角形」 は、定義より、「ひし形」 を表している。
正方形は、ひし形（の仲間）に含まれるから。
(6) × 「 ２組の対辺が平行な四角形 は、長方形 である。」
この命題は、正しくない。
主語の部分 「２組の対辺が平行な四角形」 は、定義より、「平行四辺形」 を表している。
平行四辺形は、長方形の仲間に含まれないから。
よって、適切な文に書き換えると、
「２組の対辺が平行な四角形は、平行四辺形 と 長方形 と ひし形 と 正方形 である。」 か
「２組の対辺が平行な四角形は、平行四辺形 である。」（これは定義） になる。
(7) ○ 「 正三角形 は、二等辺三角形 である。」
この命題は、正しい。
正三角形は、二等辺三角形（の仲間）に含まれるから。
(8) ○ 「 長方形 は、２組の対辺が平行な四角形 である。」
この命題は、正しい。
補語の部分の 「２組の対辺が平行な四角形」 は、定義より、「平行四辺形」 を表している。
長方形は、平行四辺形（の仲間）に含まれるから。
(9) ○ 「 ４つの角が等しく ４つの辺が等しい四角形 は、正方形 である。」
これは、正方形の定義だから。
【 命 題 】
命題 ： 言語や式によって表した一つの判断の内容。
正しいか、正しくないかが判断（真偽が判定）できる文章や式。
( ある命題が必ず真か偽のどちらかであるということを認める原理 を 二値原理 といいます。)
【 仮 定 】
仮定 ： 仮に定めること。また、仮設。仮説。
仮設 ： 数学や論理学では、一つの命題を導くためにおく前提条件。仮定。
仮説 ： ある現象を統一的に説明するために立てた仮定。
【 結 論 】
結論 ： ① 議論でまとまった最終的な結果を述べること。
② 前提からみちびかれる判断（を出すこと）。
仮定と結論
あることがらで、すでに分かっている条件を仮定といい、これからいいたいことを結論という。
『 A ならば B である 』 『 A は B である 』 という形の命題で、
A の部分が 仮定 、B の部分が 結論 である。
（例） 命題 「 １組の対辺が平行な四角形 は、正方形 である」 の
[ 仮定 ] は 「 １組の対辺が平行な四角形がある。」 であり、
[ 結論 ] は 「 その四角形は、正方形である。」 である。
この命題は、正しくない （偽である）。
主語の部分 「１組の対辺が平行な四角形」 は、定義より、「台形」 である。
台形は、正方形（の仲間）に含まれないから。
○ 次の[ ] に適切な語句・式などを入れてください。
命題 「 二等辺三角形 は ２つの (底)角が等しい三角形 である。」 が
正しいか、正しくないか判断するために証明します。
証明する前に
この命題の [ ] は 「 二等辺三角形がある。」 であり、
[ ] は 「 それは ２つの (底)角が等しい三角形である。」 である。
まず、(証明のための) 仮定を用意します。
二等辺三角形A B C をかきます。定義より、AB ＝ AC の二等辺三角形A B C を。
二等辺三角形の等しい２辺の間の角を [ ] といい、他の２角を [ ] という。
AB ＝ AC の二等辺三角形A B C だから、底角は [ ] と [ ] である。
すると、結論 は ∠A B C ＝ ∠A C B である。
よって、
∠A B C と ∠A C B を それぞれ内角とする２つの三角形 が 合同 であることを証明することになります。
次に、２つの三角形をつくりましょう。
テクニカルな方法を使います。
二等辺三角形A B C の２つの底角を それぞれ含む２つの三角形をつくるわけですから。
頂点A に注目します。
頂点A から 辺BC (底辺) に直線 ( 補助線 ) を引けば、
∠A B C と ∠A C B を それぞれ含む２つの三角形 ができます。
さらに、
このできた２つの三角形が [ ] でなければならないから、
直線の引き方に もうひと工夫 必要です。
その工夫は、この直線 が 頂角C A B の [ ] である ということです。
頂点から補助線をひく。
その補助線は、(頂) 角の二等分線 である。
（ 証 明 ）
AB ＝ AC の二等辺三角形A B C において、
頂角A の二等分線 と 底辺BC との交点を M とする。
△A M B と △A M C について
根拠 [ ] より、
主張 [ ] ・ ・ ・ ①
根拠 共通の辺だから、
主張 [ ] ・ ・ ・ ②
根拠 ∠C A B の [ ] より、
主張 [ ] ・ ・ ・ ③
①, ②, ③ より
合同条件 [ ] から、
△A M B ≡ △A M C
合同な図形の対応する角は等しいから、
∠A B M ＝ ∠A C M すなわち ∠A B C ＝ ∠A C B である。
以上より、
二等辺三角形 は ２つの (底) 角が等しい三角形である。
（ 証明おわり ）
この証明により、
命題 「 二等辺三角形 は ２つの (底)角が等しい三角形 である。」 が [ ] と判断できる。
次回の ⑱ 『 命題の逆 』 に続きます。