㊲ ２次不等式 ５
○ 次の不等式を解きなさい。
(９) x ² ＋ 2 x ＋ 1 ≦ 0
x ² ＋ 2 x ＋ 1
＝ ( x ＋ 1 ) ²
x ＋ 1 は 実数 だから
( x ＋ 1 ) ² ≧ 0
( 等号成立は x ＋ 1 ＝ 0 すなわち x ＝ － 1 のとき )
よって
x ² ＋ 2 x ＋ 1 ≦ 0
⇔ ( x ＋ 1 ) ² ≦ 0
( ⇔ － 1 ≦ x ≦－ 1 )
この２次不等式が成り立つのは、x ＝ － 1 のとき のみ
答え x ＝ － 1
【－ 1 ≦ x ≦－ 1 について 】
－1 以上 かつ －1 以下 の実数 x は －1 のみ
(10) x ² ＋ 4 x ＋ 1 ≦ 0
x ² ＋ 4 x ＋ 1 ＝ 0 を解の公式を使って解く
x ² ＋ 4 x ＋ 1 ＝ 0
⇔ x ＝ －2 ± √( 2² －1・1)
⇔ x ＝ －2 ±√3
よって
x ² ＋ 4 x ＋ 1 ≦ 0
⇔ ( x ＋ 2 ＋√3 ) ( x ＋ 2 －√3 ) ≦ 0
⇔ －2 －√3 ≦ x ≦－2 ＋√3
答え －2 －√3 ≦ x ≦－2 ＋√3
(11) x ² ＋ 4 x ＋ 5 ＜ 0
x ² ＋ 4 x ＋ 5
＝ ( x ＋ 2 ) ² ＋ 1
x ＋ 2 は 実数 だから
( x ＋ 2 ) ² ≧ 0
( x ＋ 2 ) ² ＋ 1 ≧ 1
( 等号成立は x ＋ 2 ＝ 0 すなわち x ＝ － 2 のとき )
よって
x ² ＋ 4 x ＋ 5 ＜ 0
⇔ ( x ＋ 2 ) ² ＋ 1 ＜ 0
この２次不等式を満たす x は存在しない
答え 解なし
２次不等式を解く
・ スグ因数分解できれば大小判断してスグに求められる
・ 解の公式で方程式の解を求めて大小判断すべき時がある
・ 完全平方式をつくって実数の性質を使い大小判断すべき時もある
【 不等式を関数で 】
α ＜ βで
( x － α) ( x － β) ＜ 0 ⇔ α ＜ x ＜ β
( x － α) ( x － β) ＞ 0 ⇔ x ＜ α , β ＜ x
２次不等式 ( x － α) ( x － β) ＞ 0 を解くこと
は
２次関数 y ＝ ( x － α) ( x － β) が
x 軸より上にあるその部分 の x の範囲 ( 区間 ) を求めること
である
ｆ (x) ＝ ( x － α) ( x － β) とおく
y ＝ ｆ (x) は
向きが 下に凸
軸が x ＝ (α＋β) / 2
頂点が ( (α＋β) / 2 , － (β―α) ² / 4 )
x 軸との交点が ( α , 0 ) , ( β , 0 )
である
よって
y ＝ ｆ (x) が x 軸より上にある部分の x の範囲 ( 区間 ) は
x ＜α , β＜ x
である
問い Ⅸ
x ² ＋ b x ＋ c ≦ 0 を解きなさい。
次回 ㊳ 不等式を関数で につづきます。