『 速さの公式は使えるように １４ 』
○ v ＝ a t ＋ v₀ と x ＝ v₀ t ＋ (1/2) a t² を使って、
v² － v₀² ＝ 2 a x を導く。
次の [ ] に適切な語句・式などを入れてください。
v ＝ a t ＋ v₀ ・ ・ ・ ①
x ＝ v₀ t ＋ (1/2) a t² ・ ・ ・ ②
v² － v₀² ＝ 2 a x ・ ・ ・ ③
が、それぞれ
[速度] と 時間 、
[変位] と 時間 、
[速度] と [変位]
の関係を表しているから、①と②で t を[消去]すれば、③が導けそうです。
①を変形する。
v ＝ a t ＋ v₀
a t ＋ v₀ ＝ [ v ]
a t ＝ [ v － v₀ ] ( 移項した )
t ＝ ( v － v₀) / a ( ただし、a ≠ 0 ) ( 両辺を a でわった )
これを②に代入する。
x ＝ v₀ t ＋ (1/2) a t²
x ＝ v₀ { ( v － v₀) / a } ＋ (1/2) a { ( v － v₀) / a } ² ( 代入により t を消去 )
x ＝ ( vv₀ － v₀²) / a ＋ (v － v₀)² / 2 a
2 a x ＝ 2 ( vv₀ － v₀²) ＋ (v － v₀)² ( 両辺を 2 a 倍 )
2 ( vv₀ － v₀²) ＋ (v － v₀)² ＝ [ 2 a x ]
2 vv₀ － 2 v₀² ＋ ( [ v² － 2 vv₀ ＋ v₀² ] ) ＝ 2 a x ( 展開 )
v² － v₀² ＝ 2 a x
導けた。 ( これは、a ＝ 0 でも成り立つ )
３つの公式
v ＝ a t ＋ v₀
x ＝ v₀ t ＋ (1/2) a t²
v² － v₀² ＝ 2 a x
が、それぞれ
等加速度直線運動 ( 水平方向 など ) の
速度 と 時間 、
変位 と 時間 、
速度 と 変位
の
関係を表していることを理解すれば、
重力加速度 ｇ m/s² を使った次の ９つの公式 ( 鉛直方向の等加速度直線運動 )
は、とても理解しやすいはずです。
( 重力加速度の向きは、常に 鉛直方向下向き )
自由落下(運動) 下向きを正とする
v ＝ ｇ t
y ＝ (1/2) ｇ t²
v² ＝ 2 ｇ y
投げ下げ(運動) ( v₀ ＝ 0 のとき、自由落下 ) 下向きを正とする
v ＝ ｇ t ＋ v₀
y ＝ v₀ t ＋ (1/2) ｇ t²
v² － v₀² ＝ 2 ｇ y
投げ上げ(運動) 上向きを正とする
v ＝－ ｇ t ＋ v₀
y ＝ v₀ t － (1/2) ｇ t²
v² － v₀² ＝－ 2 ｇ y
【 斜め投げ上げ運動 】
○ 次の [ ] に適切な語句・式などを入れてください。
水平方向 ( 地面 ： y ＝ 0 ) からの角度がθである斜め上方へ初速度 v₀ で ある物体を投げると、
水平方向の初速度は、 v₀ cosθ
鉛直方向の初速度は、 v₀ sinθ ( 高校数学の三角比 )
投げてからの経過時間を t とすると、
水平方向には力が働いていない から 加速度はなし、 [ ∵ 力 ＝ 質量 × 加速度 ]
よって、等速直線運動だから、
速度 と 時間の関係式はなく、 Vx ＝ [ ] と 速度は一定
変位 と 時間の関係式は、 x ＝ ( [ ] ) ・ t ・・・ ①
鉛直方向には重力のみが働いている から 等加速度直線運動になるので、
重力加速度を ｇ とすると、
速度 と 時間の関係式は、 Vy ＝ － ｇ t ＋ [ ] ・・・ ②
変位 と 時間の関係式は、 y ＝ ( [ ] ) ・ t － (1/2) ｇ t² ・・・ ③
速度 と 変位の関係式は、 Vy ² － ( [ ] )² ＝ － 2 ｇ y ・・・ ④
重力以外の力が働かない状況で、最も遠くにとどくように投げたとき、
θの値 と その地点までの距離を求める。
投げてから地面 ( y ＝ 0 ) につくまでの時間を求める。
y ＝ 0 を ③ に代入して、t を求める
0 ＝ ( v₀ sinθ)・t － (1/2) ｇ t²
( v₀ sinθ)・t － (1/2) ｇ t² ＝ [ ] ( t の２次方程式 )
[ ] ＝ 0 ( 因数分解で解く )
t ＝ [ ] , [ ]
t ＞ 0 だから、
投げてから、地面につくまでの時間は t ＝ [ ] である。
これを ① に代入すると、
x ＝ v₀ cosθ・ { [ ] }
＝ ( 2 v₀² sinθcosθ) / ｇ
＝ ( v₀² sin 2θ) / ｇ ( 三角関数の２倍角 )
最も遠くにとどく とは、x が最大値をとること。
x が最大値をとる とは、sin 2θが最大値をとること。
sin 2θは、x y 座標平面における単位円 ( 中心が原点で 半径が 1 ) の [ ] だから、( 三角関数 )
－1 ≦ sin 2θ≦ 1
よって、2θ＝ 90°のとき、sin 2θは最大値 1 をとる。
以上より、θ＝ [ ] のとき、
投げた地点から最も遠い x ＝ [ ] のところにとどく。
次に、最高点の位置 と そのときの t の値を求める。
１つの解き方
y ＝ ( v₀ sinθ) ・ t － (1/2) ｇ t² ・・・ ③ は、
高さ(変位) y と 時間 t の関係式で、
y が t の２次関数であることを表している。
よって、
この t の２次式の最大値が最高点の位置を表し、
このときの t の値が求めるべき値である。
t の２次式を 完全平方式 に変形すればよい。 ( 高校数学 ： ２次関数 )
y ＝ ( v₀ sinθ) ・ t － (1/2) ｇ t²
y ＝ － (1/2) ｇ t² ＋ ( v₀ sinθ) ・ t
２次と１次の２項式を [ ] でくくる
y ＝ － (1/2) ｇ [ t² － { ( 2 v₀ sinθ)/ｇ } ・ t ]
[ ] をたしてひく
y ＝ － (1/2) ｇ [ t² － { ( 2 v₀ sinθ)/ｇ } ・ t ＋ { －( v₀ sinθ)/ｇ }² － { －( v₀ sinθ)/ｇ }² ]
２乗、積の２倍、２乗の３項式は [ ] に
y ＝ － (1/2) ｇ { t － ( v₀ sinθ)/ｇ } ² ＋ ( v₀ sinθ)²/2 ｇ
t y 座標平面における この２次関数のグラフについて
・ 向き ： 上に凸
・ 軸 ： t ＝ ( v₀ sinθ)/ｇ
・ 頂点 ： ( ( v₀ sinθ)/ｇ , ( v₀ sinθ)²/2 ｇ )
・ t 軸 ( y ＝ 0 ) との交点の座標 ( 0 , 0 ) , ( (2 v₀ sinθ)/ｇ , 0 )
・ y 軸 ( t ＝ 0 ) との交点の座標 ( 0 , 0 )
ゆえに、
t ＝ [ ] のとき、最大値 y ＝ [ ] をとる。
別の解き方
最高点では鉛直方向の速度が [ ] になる。
鉛直方向の 速度 と 時間の関係式は、
Vy ＝ － ｇ t ＋ v₀ sinθ
これに Vy ＝ [ ] を代入して計算すると、
t ＝ [ ] これが、最高点の位置にあるときの t の値である。
鉛直方向の 速度 と 変位の関係式は、
Vy ² － ( v₀ sinθ)² ＝ －2 ｇ y
これに Vy ＝ [ ] を代入して計算すると、
y ＝ [ ] これが、最高点の位置である。
物理現象を把握して、
変位や速度が 0 になると判断し、公式を使うといいですね。
数学の知識も役に立ちますね。
丸覚えは、丸覚えの連鎖を生む。
丸覚えが有効なときもある。
丸覚えでも、テストによっては高い点をとれる。
丸覚えで成功すると、その成功体験・経験に基づき、また丸覚えする。
しかし、
丸覚えすべき対象の量と質の変化により、やがて丸覚えできなくなる。
これが
小学校の低学年のときできたのに、高学年になるとできなくなる。
小学生のときできたのに、中学生になるとできなくなる。
中学生のときできたのに、高校生になるとできなくなる。
ということの原因の１つでしょう。
高校生になると、テストばっかりですよ。定期考査、実力考査、模擬試験など。
テストのたびに、
良い点・高い点を取るために覚えては忘れる行為をくり返していると、(脳に良くないかも)
だんだんやる気がなくなるでしょう。
「 また覚えないと。」
「 もう覚えられない！」
「 覚えるのは、もうイヤ！」
もう勉強がイヤになるでしょう。
勉強は、少なくとも、ものごとを的確に把握し、適切に対処できることを身につけるためのものです。
それを身につけた結果がテストの高得点につながればよい。
勉強そのものを楽しみ、テスト結果を喜ぶ。
過程(プロセス)を楽しみ、結果を喜ぶ。
小中高と進学するにつれて、
過程をおろそかにして結果のみを喜ぶことは、だんだん難しくなります。
なぜなら、勉強の対象が １つ１つの知識 から それを組み合わせた知識体系になるから。
次回 『 速さの公式は使えるように １５ 』 につづきます。