㊲ 『 三平方の定理が導けた 』
この 「 図形 」 ( テーマ ) で、
定義 や 既に正しいと認められたこと などを根拠として 証明することにより、
条件や定理を導いた。
さらに、
それらの条件や定理も根拠にして、新たな定理を導くことができた。
ここに 三角形の合同証明 と 等積三角形 を使って、
ピタゴラスの定理 ( 三平方の定理 ) を導くことができた。 ( これ以外の導き方もあります。)
こうして、
ある知識を根拠にして新たな知識を得る、
知識を組み合わせて知識体系ができる ということを経験しました。
また、
何かを主張するとき、
その主張内容が正しい と判断する・認められるには、根拠が必要であること
そして、
論理にしたがって、
さまざまな主張などを組み合わせることにより、証明 ( 論証 ) できること
を経験しました。
以上を経験することも、「 図形証明 」を勉強する意味 です。
○ 合同 と 等積三角形を使って、○ ○ ○ の定理 ( □ □ □ □ □ の定理 ) を導く。
次の [ ] に適切な語句や式などを入れてください。
∠B C A ＝ 90°, CA ＝ b , AB ＝ c , BC ＝ a の 直角三角形C A B がある。
辺CA を１辺とする正方形C D E A 、 ( 点D, E は 辺CAについて点B の反対側 )
辺AB を１辺とする正方形A F G B 、 ( 点F, G は 辺ABについて点C の反対側 )
辺BC を１辺とする正方形B H I C ( 点H, I は 辺BCについて点A の反対側 )
を描く。
点B と 点E を
点F と 点C をそれぞれ直線で結ぶ。
△A B E と △A F C が [合同] であることを証明する。
△A B E と △A F C について
正方形は、[４つの辺] が等しく かつ [４つの角] が等しいから、
正方形C D E A と 正方形A F G B より、
AB ＝ AF ・ ・ ・ ①
AE ＝ AC ・ ・ ・ ②
∠E A B ＝ ∠C A B ＋ 90°
∠C A F ＝ ∠C A B ＋ 90°だから、
∠E A B ＝ ∠C A F ・ ・ ・ ③
①, ②, ③より、
２辺とその間の角がそれぞれ等しいから、
△A B E ≡ △A F C ・ ・ ・ ④
である。
等積三角形をおさえる。
点C から 辺AB と 辺FG に垂線をひき、それぞれの足をJ , K とする。
∠A F K ＝ ∠C K G ＝ 90°より、 ( [同位角] が等しいから )
[ CK // AF ] だから、
△J A F ＝ △C A F ・ ・ ・ ⑤
∠C A E ＝ [∠A C B ] ＝ 90°より、 ( [錯角] が等しいから )
BC // AE だから、
△B E A ＝ △C E A ・ ・ ・ ⑥
④, ⑤, ⑥ より、
△J A F ＝ △C E A
そして
長方形J A F K ＝ ２ × △J A F
正方形C D E A ＝ ２ × △C E A だから、
長方形J A F K ＝ 正方形C D E A ・ ・ ・ ⑦
つぎに、
点H と 点A を
点C と 点G をそれぞれ直線で結んで、
△B H A と △B C G が合同であることを証明する。
[ △B H A と △B C G ] について
[ 正方形は、４つの辺が等しく かつ ４つの角が等しい ] ので
[ 正方形B H I C と 正方形A F G B ] より、
[ AB ＝ GB ] ・ ・ ・ ⑧
[ BH ＝ BC ] ・ ・ ・ ⑨
[ ∠A B H ＝ ∠A B C ＋ 90°]
[ ∠G B C ＝ ∠A B C ＋ 90°] だから、
[ ∠A B H ＝ ∠G B C ] ・ ・ ・ ⑩
⑧, ⑨, ⑩ より、
[ ２辺とその間の角がそれぞれ等しい ] から、
[ △B H A ≡ △B C G ] ・ ・ ・ ⑪
である。
等積三角形をおさえる
∠B G K ＝ ∠C K F ＝ 90°より、
[ CK // BG ] だから、
[ △J G B ＝ △C G B ] ・ ・ ・ ⑫
[ ∠C B H ＝ ∠A C B ＝ 90°] より、
[ AC // BH ] だから、
[ △A B H ＝ △C B H ] ・ ・ ・ ⑬
⑪, ⑫, ⑬ より、
[ △J G B ＝ △C B H ]
そして
長方形J K G B ＝ ２ × [ △J G B ]
正方形B H I C ＝ ２ × [ △C B H ] だから、
長方形J K G B ＝ 正方形B H I C ・ ・ ・ ⑭
⑦, ⑭より、
長方形J A F K ＋ 長方形J K G B ＝ 正方形C D E A ＋ 正方形B H I C
長方形J A F K ＋ 長方形J K G B ＝ [ 正方形A F G B ] だから、
[ 正方形A F G B ] ＝ 正方形C D E A ＋ 正方形B H I C
[ 正方形A F G B ] ＝ c ²
正方形C D E A ＝ b ²
正方形B H I C ＝ a ² なので ( 小学算数 正方形の面積公式 より )
c ² ＝ a ² ＋ b ² が成り立つ。
以上により、
「 [ 直角 ]三角形において、
[ 斜辺 ] の２乗は、他の２辺の２乗の[ 和 ] に等しい。」 という
中３数学の [ 三平方 ] の定理 ( [ ピタゴラス ] の定理 ) を導いた。
○ ２つの直線の位置関係から始まった。（復習）
[ ア ] ～ [ テ ] に適切な語句を入れてください。
答えは、下の方にあります。
２本の直線があるとき、
２つの場合がある。
ⅰ) ２本の直線が [ ア ]でない とき ( ２直線の交点[ イ ] 、そこに[ ウ ] ができる)
ⅱ) ２本の直線が [ エ ]である とき ( ２直線の交点[ オ ] )
[ カ ]線間の距離は[ キ ] 。( 等積三角形 ・ 等積変形の根拠 )
さらに、もう１本の直線 (３本目) が、先の２直線のどちらに対しても平行でないとき、
ⅰ) の場合、先の２直線との交点のところに[ ク ]・同位角ができる。
このとき、[ ケ ] は [ コ ] し、同位角 も [ サ ] 。
また、３本の直線で囲まれた[ シ ]が１つできる。
ⅱ) の場合、先の２直線との交点のところに[ ス ]・同位角ができる。
このとき、[ セ ] は [ ソ ] し、同位角 も [ タ ] 。
２直線が平行 と [ チ ]・同位角が[ ツ ] は [ テ ] 。
今回 の ㊲ 『 三平方の定理が導けた 』 で ひとまず テーマ 「図形」 を終了します。
（答え）
ア 平行 イ あり ウ 対頂角 エ 平行 オ なし カ 平行 キ 等しい
ク 錯角 ケ 錯角 コ 等しくない サ 等しくない シ 三角形
ス 錯角 セ 錯角 ソ 等しい タ 等しい チ 錯角 ツ 等しい テ 同値