『 難しい問題？ 』
補講の「中３数１学期中間模擬テスト」に掲載した （ 問題 ） の解答です。
この （ 問題 ） は、中３数学の内容を扱うことができるだけでは、解けません。
解答するには、高１数学の内容を扱う必要があります。
まず、高１内容の 問題１ を解きます。
問題１ ( x＋1 )( x＋2 )( x＋3 )( x＋4 ) を展開しなさい。
２項式×２項式×２項式×２項式 だから、
はじめに、２×２ と ２×２ で ８ 回 かけ算して計算すると、３項式×３項式になる。
つぎに、３×３ で ９回 かけ算して同類項の計算すれば答えは出ます。
しかし、次の 問題２ を解くためには、少し工夫しなければなりません。
｛最初の２項式｝と｛どの２項式｝のかけ算をするのかは、
たして＋5 になる（２回目と３回目を計算して＋5x になる）ことが決めます。
( x＋1 )( x＋4 )( x＋2 )( x＋3 ) ２項式×２項式×２項式×２項式
＝ ( x²＋5x＋4 )( x²＋5x＋6 ) ３項式×３項式 （共通部分 x²＋5x を作った）
＝ { ( x²＋5x )＋4 }{ ( x²＋5x )＋6 } ２項式×２項式
＝ ( x²＋5x )²＋10 ( x²＋5x )＋24 括弧の２乗（２項式の２乗）、括弧の１乗、定数
＝ x⁴＋10x³＋25x²＋10x²＋50x＋24 (２乗、積の２倍、２乗)
＝ x⁴＋10x³＋35x²＋50x＋24 (答え)
練習１ ( x－1 )( x－3 )( x－5 )( x－7 ) を展開しなさい。
（答え） x⁴－16x³＋86x²－176x＋105
導出過程を大切にしてください。
問題２ ( x＋1 )( x＋2 )( x＋3 )( x＋4 )＋1 を因数分解しなさい。
( x＋1 )( x＋2 )( x＋3 )( x＋4 )＋1
＝ ( x²＋5x＋4 )( x²＋5x＋6 )＋1
＝ { ( x²＋5x )＋4 }{ ( x²＋5x )＋6 }＋1
＝ ( x²＋5x )²＋10 ( x²＋5x )＋24＋1
＝ ( x²＋5x )²＋10 ( x²＋5x )＋25 ２乗、積の２倍、２乗
＝ { ( x²＋5x )＋5 }² ２項式の２乗
＝ ( x²＋5x＋5 )² （答え）
練習２ ( x－1 )( x－3 )( x－5 )( x－7 )＋16 を因数分解しなさい。
（答え） ( x²－8x＋11)²
導出過程を大切にしてください。
（ 問題 ） 連続した４つの自然数の積に１を加えた数は、ある数の２乗になる。
（例） １×２×３×４＋１ ＝ ２５ ＝ ５²
２×３×４×５＋１ ＝ １２１ ＝ １１²
３×４×５×６＋１ ＝ ３６１ ＝ １９²
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次の問いに答えなさい。
[１] もっとも小さい自然数を n とするとき、他の３つの自然数を n を使って表しなさい。
[２] ６８×６９×７０×７１＋１ は、どんな数の２乗になりますか。
[３] もっとも小さい自然数をを n として、
「連続した４つの自然数の積に１を加えた数は、ある数の２乗になる。」ことを証明しなさい。
（ 問題 ）の解答
[１] もっとも小さい自然数を n とするとき、
他の３つの自然数は n＋1 , n＋2 , n＋3 です。
[１] [２] [３] 間の関係を理解、判断しないで、順番どおりに取り組むと苦労します。
[１] [２] [３] ・・・と順に解くというルーチンワークでは、テスト・試験時間内に
解くことが難しくなるように問題や小問を配置しているものもあります。
それでもあえて [１] に続いて [２] に取り組んでみます。
[２] ６８×６９×７０×７１＋１ をとりあえず計算すると ２３３１９２４１ になります。
これがどんな数の２乗なのか求めるのですが。さてどのように求めましょうか。
少しずつ答えをしぼり込んでゆきましょう。
1×1＝1 と 9×9＝81 より １桁×１桁は、高々２桁である。
10×10＝100 と 99×99＝9801 より ２桁×２桁は、高々４桁である。
100×100＝10000 と 999×999＝998001より ３桁×３桁は、高々６桁である。
２３３１９２４１は８桁ですから、４桁の数を考えます。
見やすいように、２３|３１|９２|４１ と２つずつ区切ります。
近そうに思われる数を２乗してみる。
千の位の数をきめる
まず、５０００の２乗は２５|００|００|００
次に、４０００の２乗は１６|００|００|００
よって、５０００に近い４０００台の数だとわかりました。
百の位の数をきめる
４８００の２乗は２３|０４|００|００
４９００の２乗は２４|０１|００|００
よって、４８００に近い４８００台の数だとわかりました。
十の位の数をきめる
４８２０の２乗は２３|２３|２４|００
４８３０の２乗は２３|３２|８９|００
よって、４８３０に近い４８２０台の数だとわかりました。
一の位の数をきめる
｛２乗して１の位の数が１になる数｝の１の位の数は１か９です。
４８２９の２乗は２３|３１|９２|４１ (一致した！)
以上より、（答え）４８２９
高校生でもほとんど解けないでしょう。中学生ならなおさらですね。
しかし、このように答えをしぼり込んでゆく姿勢は、
国公立大学の２次試験では、とても重要です。
（ たとえ （答え） にたどり着けなくても、
解答が記述式なら、解答への導出過程に対して部分点がうまれる場合があります。）
あきらめず、必要に応じて、その時点での自分の持てる能力を総動員する姿勢は大切です。
「 開平(法) 」については、インターネットなどを使って調べてください。
開平(法)が使えれば、中学生でもこの小問[２]を短時間で解答できます。
また、次の単元「平方根」に出てくる √2 ( ルート2 ) などの無理数の近似値を
求めること・確認することができます。
[３] [１]の解答より
n ( n＋1 )( n＋2 )( n＋3 )＋1
＝ n ( n＋3 )( n＋1 )( n＋2 )＋1
＝ ( n²＋3n )( n²＋3n＋2 )＋1 （共通部分 n²＋3n を作った）
＝ ( n²＋3n ){ ( n²＋3n )＋2 }＋1
＝ ( n²＋3n )＋2( n²＋3n )＋1
＝{ ( n²＋3n )＋1 }²
＝ ( n²＋3n＋1 )²
よって、連続した４つの自然数の積に１を加えた数は、ある数の２乗になる。（証明おわり）
[２] [３]より
n ( n＋1 )( n＋2 )( n＋3 )＋1 ＝ ( n²＋3n＋1 )² だから、
n ＝ ６８ を代入すると
６８×６９×７０×７１＋１ ＝ ( 68²＋3・68＋1 )²
＝ { ( 70－2 )²＋204＋1 }²
＝ ( 4900－280＋4＋204＋1 )²
＝ 4829²
（答え）４８２９
解法を一つでも多く知っていることは、大切です。
しかし、もっと大切なことは、解法を知っている状態にどのようにして至ったのか、
つまり知識習得のプロセスです。知っていることは、使わないと忘れますが、
知識習得のプロセスは、人それぞれさまざま程度で確立されるものですから。
知識習得のプロセスは、
｛丸覚えという行為｝ から ｛判断・操作して獲得するという行為｝ まで
程度差をもって確立されます。
そして、
その確立されたものは、ほぼ一生にわたって、
その人と知識との関係を決定してしまうことになります。
小中高と学年が進むにしたがい、教科内容における知識量は増える一方です。
｛丸覚え｝は、やがてある時点で、「もう覚えられない」という状態を生むでしょう。
知識によって養われた能力が、学力です。
｛丸覚えという行為｝では、テストが終わると覚えたことをほとんど忘れます。
学力を支える知識が失われるのですから、
ヘタをすると学力を破壊します。
学力テスト・学力試験のたびに、それに対して必要な知識を暗記し、
テスト・試験終了のたびに、不要になった知識を捨てる。（負の取捨選択）
つまり、テスト・試験のたびに、学力を破壊することに。
知識は単独では存在しません。知識体系と共に存在するのです。
この点をおさえて、知識習得していかなければなりません。