有料メルマガ第２号（５月４日発行）
中３数 因数分解 『展開同様、符号に注意！』に掲載の問題です。
１ ⅹ²＋10ⅹ＋21
２ ⅹ²＋15ⅹ＋56
３ ⅹ²－９ⅹ＋18
４ ⅹ²－18ⅹ＋72
５ ⅹ²＋２ⅹ－48
６ ⅹ²－７ⅹ－30
７ ⅹ²－６ⅹ＋９
８ 25ⅹ²－１
９ －28a²b＋49ab²c
10 －３ma²－18ma－27m
11 ａｂ －ａ －ｂ ＋１
12 ⅹ²＋ｙ²＋ｙｚ－ｚⅹ－2ⅹｙ
(練習１)
［１］ ⅹ²＋５ⅹ＋６ ［２］ ⅹ²＋13ⅹ＋42
［３］ ⅹ²＋16ⅹｙ＋48ｙ² ［４］ ⅹ²＋20ⅹ＋64
(練習２)
［１］ ⅹ²－７ⅹ＋12 ［２］ ⅹ²－9ⅹｙ＋14ｙ²
［３］ ⅹ²－12ⅹ＋35 ［４］ ⅹ²－30ⅹ＋144
(練習３)
［１］ ⅹ²－ⅹ－12 ［２］ ⅹ²＋ⅹ－６
［３］ ａ² －ａ －72 ［４］ ａ² ＋7ab －44ｂ²
［５］ y²－３ｙ－10 ［６］ ⅹ²＋ⅹ－56
［７］ ｂ²＋９ｂ－52 ［８］ ⅹ²－12ⅹｙ－64ｙ²
［９］ ⅹ²＋（a－b）ⅹ－ab
(練習４)
［１］ ⅹ²＋４ⅹ＋４ ［２］ ⅹ²－12ⅹ＋36
［３］ ａ² ＋18ａ ＋81 ［４］ ４ａ² －12ab ＋９ｂ²
(練習５)
［１］ ｃ²－４ａ² ［２］ 64ａ²－49ｂ² ［３］ 16ⅹ²－169ｙ²
(練習６)
［１］ ５ⅹ³ｙ－25ⅹ²ｙ²＋35ⅹｙ³ ［２］ ３ａ（ａ－２ｂ）－ｂ（２ｂ－ａ）
［３］ ⅹ²＋ⅹ（ｙ＋ｚ） ［４］ ２ａ²＋28ab－144ｂ²
［５］ －３ａⅹ²＋24ａⅹ＋144ａ
(練習７)
［１］ ⅹ²＋ａｂ＋ａⅹ＋ｂⅹ ［２］ ａｃ－ａｄ－ｂｃ＋ｂｄ
［３］ ⅹ²－ｂⅹ＋ａｂ－ａⅹ ［４］ ⅹ²＋ｙ²＋2ｙｚ＋2ｚⅹ＋2ⅹｙ
注意！
因数分解の答えが正解かどうかは、答えの式を展開して与式にもどるか検算すれば
わかります。この検算では、展開が正確に速くできるほうがいいですね。
だから、展開が十分できるようになってから、因数分解に取り組みましょう。
展開を習得するため、以下の４講を活用してください。
中３数学（多項式の計算１） ４月14日 公開
⇓
中３数学（多項式の計算２） ４月17日 公開
⇓
中３数学（多項式の計算３） ４月21日 公開
⇓
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○ 約数の求め方
（約数は、因数分解に役に立ちますし、次の平方根でも役に立ちます）
☆ 12 の約数を、とりあえず小学校で習う方法で求めてみます。
約数は、その整数を割り切れる整数です。
それで、１から順に割り切れる整数で割り算を実行して、12を割り切れる整数を求めます。
12÷１＝12 より 12 の約数 { １ }
12÷２＝６より 12 の約数 { １，２ }
12÷３＝４より 12 の約数 { １，２，３ }
12÷４＝３より 12 の約数 { １，２，３，４ }
12÷６＝２より 12 の約数 { １，２，３，４，６ }
12÷12＝１より 12 の約数 { １，２，３，４，６，12 } と １から順にひとつずつ求めます。
☆ 48 の約数を同様に求めてみます。
48 の約数 { １ }
48 の約数 { １，２ }
48 の約数 { １，２，３ }
48 の約数 { １，２，３，４ }
48 の約数 { １，２，３，４，６ }
48 の約数 { １，２，３，４，６，８ }
48 の約数 { １，２，３，４，６，８，12 }
48 の約数 { １，２，３，４，６，８，12，16 }
48 の約数 { １，２，３，４，６，８，12，16，24 }
48 の約数 { １，２，３，４，６，８，12，16，24，48 } と １から順にひとつずつ求めます。
かつて小学生に約数を指導したとき、
約数の個数が少ない４，６，８，10，12，16，18 の約数は、ほぼ正解します。
しかし、求める約数の個数が10個前後になると、１から順にひとつずつ求める方法では、
時間がかかり、約数が抜け落ちる可能性が高くなり、
すべての約数を書き出すことは困難のようです。
48 の約数の個数は
48＝２⁴×３ と素因数分解できるから、５×２＝10 個 です。
72 の約数の個数は
72＝２³×３² と素因数分解できるから、４×３＝12 個 です。
144 の約数の個数は
144＝２⁴×３² と素因数分解できるから、５×３＝15 個 です。
144 の約数を１から順にひとつずつ求める方法は、実践的ではありませんね。
中３では、144 の約数を扱うことは、必要です。さてどうしますか。
☆ 144 の約数を求めてみます。
小２で｛九九｝を習い、｛かけ算｝を習い、小３で｛わり算｝を習いましたから、
かけ算とわり算の関係（逆算の関係）を考えることができます。
（わられる数）÷（わる数）＝（商）の
割り切れるわり算の式を、
かけ算の式に変えると
（わられる数）＝（わる数）×（商）になります。
この式から（わられる数）は（商）でも割り切れることがわかります。
144 の約数は、144 を割り切れる整数ですから、
１から順に割り切れる整数で割ってゆきます。
１ で割ると、商は144 （ １ ，144 ）
２ で割ると、商は 72 （ ２ ， 72 ）
３ で割ると、商は 48 （ ３ ， 48 ）
４ で割ると、商は 36 （ ４ ， 36 ）
６ で割ると、商は 24 （ ６ ， 24 ）
８ で割ると、商は 18 （ ８ ， 18 ）
９ で割ると、商は 16 （ ９ ， 16 ）
12 で割ると、商は 12 （12 ， 12 ）
と （わる数）と（商）を書き出しながら、
１から順に割り切れる整数で割ってゆくとふたつずつ求めることができます。
小学生の方法の１つずつと比べると２つずつと２倍ですね。
また、上のように （ 割る数， 商 ） を縦に書き出してゆくと、
割る数と商の差がだんだん小さくなってくるので、
求める約数が抜け落ちる可能性は低いでしょう。
144 の約数は
｛１，２，３，４，６，８，９，12，16，18，24，36，48，72，144｝です。
☆ あと素因数分解を利用して求める方法もあります。
16 の約数を求めます。
16＝２⁴ と素因数分解できるから、これらの素因数を組み合わせて
２⁰＝１
２¹＝２
２²＝４
２³＝８
２⁴＝16
16 の約数は
｛１，２，４，８，16｝です。
24 の約数を求めます。
24＝２³×３ と素因数分解できるから、これらを組み合わせて
２⁰×３⁰＝１×１＝１
２⁰×３¹＝１×３＝３
２¹×３⁰＝２×１＝２
２¹×３¹＝２×３＝６
２²×３⁰＝４×１＝４
２²×３¹＝４×３＝12
２³×３⁰＝８×１＝８
２³×３¹＝８×３＝24
24 の約数は
｛１，２，３，４，６，８，12，24｝です
問題に合わせて、約数の求め方は
割り切れる数でわって（わる数）と（商）を２つずつ求める方法
と
素因数分解を利用して求める方法
を
うまく使い分けましょう。
約数を因数分解で活用しよう！
符号に注意し、約数を求めることができると、
３項式の因数分解が上手にできます。
素数・素因数分解を平方数が関係する問題で活用しよう！
素因数分解すると、その数が平方数かどうかわかります。
素因数分解すると、その約数の中に平方数があるかどうかわかります。
素因数分解すると、指数に注目してその数をどのように処理をすれば、
その数から平方数が作れるかわかります。