展開を習得するための流れ
中３数学（多項式の計算１） 前々回
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中３数学（多項式の計算２） 前回
⇓
中３数学（多項式の計算３） 今回
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中３数学（多項式の計算３）
負担軽減 「２項式×２項式は、１回目、２回目と３回目、４回目」
２項式×２項式
１ (ⅹ＋７)(ⅹ＋３) を展開しなさい。
１回目は 前の項どうしのかけ算で スクロールストップ
ⅹ² になる
２回目は スクロールストップ
＋３ⅹ になる
３回目は スクロールストップ
＋７ⅹ になる
４回目は 後の項どうしのかけ算で スクロールストップ
＋21 になる
＝ ⅹ²＋３ⅹ＋７ⅹ＋21
同類項を計算する
＝ ⅹ²＋10ⅹ＋21 （答えの式）
２ (ⅹ＋２)(ⅹ－４) を展開しなさい。
１回目は 前の項どうしのかけ算で スクロールストップ
ⅹ² になる
２回目は スクロールストップ
－４ⅹ になる
３回目は スクロールストップ
＋２ⅹ になる
４回目は 後の項どうしのかけ算で スクロールストップ
－８ になる
＝ ⅹ²－４ⅹ＋２ⅹ－８ （途中の式、項数４）
同類項を計算する
＝ ⅹ²－２ⅹ－８ （答えの式、項数３）
２． ⅹ²－２ⅹ－８ 解答欄 （答えの式、項数３）
上のように答えをだすのに、
式は、（与えられた式）、（途中の式）、（答えの式）の３つです。
こうして計算して、解答欄に（答えの式）を再度書き込みます。
（途中の式、項数４）と（答えの式、項数３）と解答欄の（答えの式、項数３）
全部で10項
（途中の式、項数４）と解答欄の（答えの式、項数３）全部で７項
次に、「公式」を使ってみましょう。
(ⅹ＋２)(ⅹ－４) （与えられた式）
「公式： (ⅹ＋ａ)(ⅹ＋ｂ)＝ⅹ²＋（ａ＋ｂ）ⅹ＋ａｂ 」 に対応する項を代入
＝ ⅹ²＋（＋２－４）ⅹ＋(＋２)・(－４) （途中の式、代入の項数５）
＝ ⅹ²－２ⅹ－８ （答えの式）
２． ⅹ²－２ⅹ－８ 解答欄 （答えの式、３項）
やはり、式は、（与えられた式）、（途中の式）、（答えの式）の３つです。
（答えの式）を書かず、(途中の式) のあとすぐに（答えの式）を解答欄に
書き込んでもいいでしょう。
それでも、（途中の式、代入の５項）と解答欄の（答えの式、３項）全部で８項分
公式を使っても使わなくても、書く項数つまり書く分量は変わりません。
公式の丸覚えの場合、
公式への代入、そのあと計算という２つの段階を踏まなければなりません。
計算力のない生徒は、公式への代入だけでも精一杯で計算する余力が
残っていません。当然、時間もかかります。
「 公式を覚えた方が、ラク 」という心地よい言葉に乗せられると、
数学ができなくなります。
ここで少しだけ速く（答えの式）を、解答欄に直接書き込む方法を提示します。
おことわり ： これから中学数学、高校受験数学、高校数学そして
大学受験数学に取り組んでいくうえで、計算の（途中の式）はとても大切です。
だだし、今回だけは100点満点をとるために、あえてこの｛２項式×２項式｝の
計算では（途中の式）を丁寧には書きません。
正確さと速さのバランスが、高いレベルで要求されるためです。
３ ( ⅹ－３ｙ )( ⅹ＋２ｙ ) を展開しなさい。
ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ
１回目を解答欄に直接書き込みます
（答え） ⅹ²
second step
２回目 と ３回目を（与えられた式）の下に書きます
( ⅹ－３ｙ )( ⅹ＋２ｙ ) を展開しなさい。
＋２ⅹｙ－３ⅹｙ
ｔｈｉｒｄ ｓｔｅｐ
２回目と３回目の同類項を計算して解答欄に直接書き込みます
（答え） ⅹ²－ⅹｙ
fourth step
４回目を解答欄に直接書き込みます
（答え） ⅹ²－ⅹｙ－６ｙ²
この方法だと、項数は５項で上の方法より、２項以上少なくて済むので、
10問で20項以上、20問で40項以上の差が生じます。
中間テストで展開・因数分解の計算問題が50問でると仮定して、
１問あたり１分もかかっていたら、｛展開・因数分解を利用する問題｝まで
手が回らないのです。100点をとるには、正確さと速さの両立が必要なため、
途中の式（書く項数）の省略も必要になる場合があります。
４ ( ２ⅹ－３ｙ )( ３ⅹ＋４ｙ ) を展開しなさい。
ｆｉｒｓｔ ｓｔｅｐ
１回目を解答欄に書き込みます
（答え） ６ⅹ²
second step
２回目 と ３回目を（与えられた式）の下に書きます
( ２ⅹ－３ｙ )( ３ⅹ＋４ｙ ) を展開しなさい。
＋８ⅹｙ－９ⅹｙ
ｔｈｉｒｄ ｓｔｅｐ
２回目と３回目の同類項を計算して解答欄に書き込みます
（答え） ６ⅹ²－ⅹｙ
fourth step
４回目を解答欄に書き込みます
（答え） ６ⅹ²－ⅹｙ－12ｙ²
second step と ｔｈｉｒｄ ｓｔｅｐ が暗算で正確にできれば、
いきなり 解答欄に(答えの式) の３項だけを順に書き込めば済みます。
チャレンジしてみてはどうですか。
１回目を書き込む
２回目と３回目の同類項を暗算して書き込む
４回目を書き込む
練習 １ 次の式を展開しなさい。
［１］ ( ａ＋７ｂ )( ａ－８ｂ ) ［２］ ( ⅹ＋７ )( ⅹ＋８ )
［３］ ( ⅹ－３ｙ )( ⅹ－４ｙ ) ［４］ ( ２ａ－３ｂ )( ７ａ＋５ｂ )
［５］ ( ３ａｂ＋２ｃ )( ２ａｂ－３ｃ ) ［６］ ( ３ｂ－ａ )( －２ａ＋７ｂ )
［７］ ( ⅹ＋ｙ－８ )( ⅹ＋ｙ＋７ ) ［８］ ( ２ａ－ｂ＋５ )( ２ａ－10－ｂ )
解答は、下の方にあります。
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平方数を確認しよう！
平方数 ： ある数を２乗（平方）した数
１から20までの整数の平方数を求めましょう。
１² ＝ １
２² ＝ ４
３² ＝ ９
４² ＝ 16
５² ＝ 25
６² ＝ 36
７² ＝ 49
８² ＝ 64
９² ＝ 81
10² ＝100
小２の「九九」は、とても役に立ちますね。
練習 ２ 11 から 20 までの整数の平方数を求めなさい。
［１］ 11² ［２］ 12²
［３］ 13² ［４］ 14²
［５］ 15² ［６］ 16²
［７］ 17² ［８］ 18²
［９］ 19² ［10］ 20²
解答は、下の方にあります。
練習 ３ 次の数の平方数を求めなさい。
[１] 0.2² [２] 1.5²
[３] (1/2)² [分数 ２分の１ の２乗]
[４] (3/4)² [分数 ４分の３ の２乗]
解答は、下の方にあります。
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練習 １ の解答
[１] ａ²－ａｂ－56ｂ² [２] ⅹ²＋15ⅹ＋56 [３] ⅹ²－７ⅹｙ＋12ｙ²
[４] 14ａ²－11ａｂ－15ｂ² [５] ６ａ²ｂ²－５ａｂｃ－６ｂ² [６] 21ｂ²－13ａｂ＋２ａ²
[７] ( ⅹ＋ｙ－８ )( ⅹ＋ｙ＋７ ) ３項式×３項式 を ２項式×２項式 に
共通部分 ⅹ＋ｙ をまとめる
＝{ ( ⅹ＋ｙ )－８ }{ ( ⅹ＋ｙ )＋７ } １回目、（２回目と３回目）、４回目
＝( ⅹ＋ｙ )²－( ⅹ＋ｙ )－56 ２乗、積の２倍、２乗 と 括弧をはずす
＝ⅹ²＋２ⅹｙ＋ｙ²－ⅹ－ｙ－56
解答への他のアプローチ
( ⅹ＋ｙ－８ )( ⅹ＋ｙ＋７ ) ３項式×３項式だから、９回かけ算をする
＝ ⅹ²＋ⅹｙ＋７ⅹ
＋ⅹｙ＋ｙ² ＋７ｙ
－８ⅹ－８ｙ－56
＝ ⅹ²＋２ⅹｙ＋ｙ²－ⅹ－ｙ－56
[８] ( ２ａ－ｂ＋５ )( ２ａ－10－ｂ )
＝{ ( ２ａ－ｂ )＋５ }{ ( ２ａ－ｂ )－10 }
＝ ( ２ａ－ｂ )²－５( ２ａ－ｂ )－50
＝ ４ａ²－４ａｂ＋ｂ²－10ａ＋５ｂ－50
解答への別のアプローチ
( ２ａ－ｂ＋５ )( ２ａ－10－ｂ )
＝( ２ａ－ｂ＋５ )( ２ａ－ｂ－10 )
＝ ４ａ²－２ａｂ－20ａ
－２ａｂ ＋ｂ² ＋10ｂ
＋10ａ－５ｂ－50
＝ ４ａ²－４ａｂ＋ｂ²－10ａ＋５ｂ－50
練習 ２ の解答
[１] 121 [２] 144 [３] 169 [４] 196 [５] 225
[６] 256 [７] 289 [８] 324 [９] 361 [10] 400
「筆算」してもいいですし、
「２項式×２項式」を活用してもいいでしょう。
17² の場合 17² ＝ 17 × 17
＝ ( 10＋７ )×( 10＋７ )
＝ 100 ＋70 ＋70 ＋49
＝ 289
19² の場合 19² ＝ 19 × 19
＝ ( 10＋９ )・( 10＋９ )
＝ 100 ＋90 ＋90 ＋81
＝ 361
19² ＝ 19 × 19
＝ ( 20－1 )・( 20－１ )
＝ 400 －20 －20 ＋１
＝ 361
練習 ３ の解答
[１] 0.04 [２] 2.25
[３] 1/4 [４分の１]
[４] 9/16 [16分の９]
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