一見謎の、新訂で新しく必要になった書き分けです。旧ルールでは双方平仮名表記でした。
新訂用字用例辞典を見てみると、例のみが示されています。「籠」は「籠の鳥」「くず籠」、「かご」は「かごかき」です。
特に平仮名表記のほうは例を見てもいまいち分からない方も多いでしょうから、辞書を引いてみました。というか、辞書を引くまでもなくヒントは用字用例辞典にもあります。「かご」と平仮名表記するのは、漢字では「駕籠」であると記載されています。「籠」に「駕」を足しても読みは変わらない、これは、「乗用具の一。竹製または木製で、人の乗る部分を1本の長い柄につるし、前後から担いで運ぶもの。古くから使われたが、江戸時代に広く普及した」（デジタル大辞泉より）のことなのです。時代劇なんかで見るアレですね。現代も観光地なんかでたまに見かけますが。
つまり、通常の会話で出てくるものの表記は、大抵「籠」であると考えてよいでしょう。
余談ですが、ついでに辞書で調べてみたところ、用字用例辞典で例示されていた「かごかき」というのは、「駕籠を担いで人を運ぶのを職業とする人。かごや」（デジタル大辞泉より）だそうです。現代日本でそういう方が一体何人存在しているのでしょうか。なぜそれを例に挙げましたか……。