もちろん「キ」と読む漢字ですが、きょうのお題は「ハタ」、つまり、「鶴の恩返し」でおつうが自分の羽根を用いて織物をしていたあれです。なお、辞書で調べると、その織ったもの自体も「機（ハタ）」であるそうです。これは私は知りませんでした。
その「鶴の恩返し」は幼いころ読んだ幼児向けの本でもちろん「機」は平仮名で書かれていましたから、私の中では「機」は平仮名のイメージが強いんですが、用字用例辞典では漢字表記するイメージです。
例）織物をしてみたいと思って、機織り機を買った。
一つの言葉で「機」という文字が二つもついているとちょっと不思議な感じですね。
ちなみに、「織り機」は送り仮名つきですが、送り仮名なしの「織機」ですと「ショッキ」になります。（同じものですが）