余り難しくない書き分けのような気がしますし、用字用例辞典でも「周り」は「周囲」のとだけ明確に書いていますから、実際難しくはないんですが、一つだけ気をつけなければいけないところがあります。それは「身の回り」です。
「身の回り」を辞書で調べますと、「衣類・装身具・文房具など、日常生活に必要なこまごまとした物。また、自分の周囲。身辺。そこから生じる雑用」とあります。真ん中辺を見ていただくと、「自分の周囲」とありますね。
だから私もこの場合表記は「周り」ではないかと思っていたんですが、用字用例辞典の「回り」の項の例の中に、「身の回り」とありますし、「身の回り」という項も別にあります。また、辞書で調べても、表記は「身の回り」一択です。
というわけで、日本語としても用字用例辞典のルールとしても「身の回り」と書くのが正解のようです。
「回り」と「周り」の意味から考えて表記をしては、間違った表記になります。きちんと用字用例辞典を確認することは本当に大事ですね。