表題の後者の「願」は、送り仮名のない場合です。
「願い事」「願わくば」など、通常の表記は前者の送り仮名ありの「願い」なのですが、限定的に「願」と送り仮名のなくなるパターンがあります。
例）上司に異動願を提出した。
「●●願」という、何かの文書のときです。上記の例のほかには「退職願」など、職場に出すものが多いような気がします。
ここで注意したいのは、「願い出」です。文書を指すときは送り仮名なしなんですが、そうでないので送り仮名ありになります。
例）上司に異動を願い出た。
同じような行動なんですが、送り仮名の有無は異なりますので注意が必要です。