これは使い分けでもわかりやすいタイプのもので、辞書の項目では一つで書かれていますが、意味も使い方も全く異なります。
「ぜひ」と平仮名表記のときは、副詞として使う場合で、「どんな困難も乗り越えて実行しようとするさま。どうあっても。きっと。」「心を込めて、強く願うさま。何とぞ」（デジタル大辞泉より）などの意味で用いられます。
また、「是非」と漢字表記のときは、名詞として使う場合で、「是と非。正しいことと正しくないこと。また、正しいかどうかということ」などの意味で用いられます。
例）ぜひとも皆さんでお越しください。
その是非を判断する権限は、私にはない。
最初のころ副詞で用いる場合の「ぜひ」をつい漢字で書いてしまうこともありましたが、何しろ超頻出語ですから、結構すぐ覚えることができました。名詞で用いる場合のほうは、個人的には平仮名で書くのは違和感が非常にあるので間違えることはありません。例えば上の例を「ぜひを判断」と書くと何か変な感じがしませんでしょうか。そうでなくとも、「漢字そのままの意味のほうは漢字表記」と覚えると、間違えないような気がします。