「しめる」と発音する動詞はたくさんあります。
用字用例辞典で見ただけで、「占める」「湿る」「閉める」「絞める」「締める」「しめる」と五つも載っています。
ただ、この中でも「占める」「湿る」は間違うことはないでしょうし、たとえ間違っていても見直せばすぐにその間違いに気づくものと思われます。
また、「しめる」の平仮名表記は「味をしめる」という形で使われる場合で、辞書（デジタル大辞泉）では「占める」の中に入っているものですが、これもまあ間違うことはないでしょう。
さて問題は残りの「閉める」「絞める」「締める」です。
まず、「絞める」と「締める」は意味がちょっと似ているような気がしますね。
ただこれらは、デジタル大辞泉を見ますと、語源は同じなんですが、そもそも項目から別として書かれている、全く別の言葉です。「絞める」は、「手やひもなどで強く押さえつけたり、巻きつけたりする。また、そのようにして殺す」（デジタル大辞泉より）と、何とも物騒な感じの意味であります。
例）かっとなってベルトで首を絞めた。
久々にベルトを締めたところ、穴が一つずれていて太っていることに気づいた。
また、「閉める」と「締める」は一見間違いようのないような気がしますが、例えばこれはどちらが正しいでしょう？
・台風による高潮に備えて水門を閉め切った。
・台風による高潮に備えて水門を締め切った。
答えは「台風による高潮に備えて水門を閉め切った」のほうです。私はこれを何度か誤変換したことがありますが、皆さんはいかがでしょうか。
さらにこのほかにも個人的に気をつけたいと思うのが、次の場合です。
例）スーツ上下とコート、靴で、締めて１０万円の出費になった。
合計の意味で使うときですね。個人的には、平仮名で書きそうになります。
このように、それぞれを見ると単純そうなのに、意外とひっかかるところがあることもあります。やはりその都度用字用例辞典を確認することが大事だと思います。