これは、使い分けというよりかは、誤変換注意という感じがします。
明らかに意味が違うのはわかっていますが、どれも結構頻出する語で日本語変換ソフトが頻繁に誤変換するからです。しかもそれをスルーしてしまいそうになります。
不必要とは思いますが、用字用例辞典からの引用して改めて意味を記載しますと、「勤める」は「仕事、勤務」で、「努める」は「努力、励む」で、「務める」は「任務、義務」となります。
（例）今日の会議の司会を務めさせていただきます。
今年度中の完成に努めます。
４０年勤めた会社を定年退職した。
ちなみに私は、「務める」と「努める」を特に間違いそうになります。
漢字のパーツが似ているからではないかと思いますが、間違えると恥ずかしいカテゴリの間違いだと個人的には思っておりますので、こういうのはできる限りないようにしていきたいと思っております。