解説不要かとは思いますが、「きわめる」は「これより先はないというところまで行き着く」「深く研究してすっかり明らかにする」などの意味を持つ動詞で、「極めて」は「非常に」などの意味の副詞ですね。（デジタル大辞泉より）
こう並べても、そもそも動詞と副詞なので何を混同することがあるだろうと思われた方も多いと思います。
しかし、こういう場合が危険です。
（例）しっかり状況を見きわめて判断しなければならない。
頂点をきわめて引退した。
あと、動詞の「きわめる」は、用字用例辞典では平仮名表記一択ですが、そもそも「極める」「究める」「窮める」という漢字表記という認識がこれまであったので、普通に使う場合でも危険な感じがします。
（例）その答えに行き着くのは、困難をきわめた。
大分覚えましたが、気を抜くと、特に「見きわめ」は間違いそうになってしまいます。