takehiro-u0828のブログ

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18きっぷ旅　2024春

施行日:2024-03-12～03-13

京浜東北線(東海道本線、東北本線へ直通) 414B

大宮行都ｻｲ165編成

横浜→上野

東北本線(常磐線直通) 321M

勝田行 K408

上野→水戸

水郡線(東北本線直通) 327D

郡山行水ｽｲ8編成

水戸→郡山

磐越西線 1227M

会津若松行 P-43

郡山→会津若松

只見線 427D

小出行ｷﾊ110-223+ｷﾊ110-101

会津若松→小出

備考:ｷﾊ110-223は東北地域色

上越線(信越線直通) 1745M

長岡行 B9

小出→長岡

備考:水上越後中里間は8745M

信越線 459M

新潟行 B14+A5

長岡→新潟

備考:所要のため、、、

信越線 466M

長岡行 B15

新潟→長岡

信越線 435M

新潟行 A28+A22

長岡→新津

磐越西線 230D

会津若松行 GV-E402-15-GV-E501-15

新津→会津若松

磐越西線 1232M

郡山行 P-41

会津若松→郡山

東北本線 2142M

新白河行 F2-505+F2-516

郡山→新白河

東北本線 4140M

黒磯行 K552

新白河→黒磯

東北本線 678M

宇都宮行 TN615

黒磯→宇都宮

東北本線(山手線、東海道貨物線経由東海道本線直通) 2563Y

大船行 E-13+U233

宇都宮→武蔵小杉

東海道貨物線(相鉄新横浜線経由相鉄本線直通) 267M

海老名行 12105F

武蔵小杉→羽沢横浜国大

備考:相鉄線内6267

積分漸化式(2)

まあ、分けた主な理由は数式の入力ってﾒﾝﾄﾞｸｻｲﾅ~と思ったところなんですがね。。。さて、

$\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+5\cos x)^{n}\sin m x}{7+5\cos x}d x$

を

$\int_{0}^{2\pi}\frac{(-6)^n\sin m x}{7+5\sin x}d x$

の値に等しいことを示すところまで進めました。この積分値を $I_{m,n}$ とおきましょう。 $\sin m x+\sin(m-2)x=2\sin(m-1)x\cos x$ が成立する。 $m\geq 2$ で

$I_{m,n}=\int_{0}^{2\pi}\frac{(-6)^n\sin m x}{7+5\cos x}d x=\int_{0}^{2\pi}\frac{(-6)^n[2\sin(m-1)x\cos x-\sin(m-2)x]}{7+5\cos x}d x=\int_{0}^{2\pi}\frac{(-6)^n\left[\frac{2}{5}(7+5\cos x)\sin(m-1)x-\frac{14}{5}\sin(m-1)x-\sin(m-2)x\right]}{7+5\cos x}d x=\int_{0}^{2\pi}\left((-6)^n\frac{2}{5}\sin(m-1)x-(-6)^n\frac{14}{5}\frac{\sin(m-1)x}{7+5\cos x}-(-6)^n\frac{\sin(m-2)x}{7+5\cos x}\right)d x=0-\frac{14}{5}I_{m-1,n}-I_{m-2,n}=-\frac{14}{5}I_{m-1,n}-I_{m-2,n}$

なので、

$I_{0,n}=0,I_{1,n}=\frac{\pi}{\sqrt{6}}(-6)^n$

に注意して、(※間違ってたらゴメン)

$\begin{cases}I_{m,n}-\alpha I_{m-1,n}&=\beta(I_{m,n}-\alpha I_{m-1,n})\\I_{m,n}-\beta I_{m-1,n}&=\alpha(I_{m,n}-\beta I_{m-1,n})\\\end{cases}$

となる $\alpha$ と $\beta$ が与えられれば、与えられるというわけです。さて、、、時間が空いてしまったのは申し訳ないけれど、手元に検算用のノートがないので、(は？)この辺で(@^^)/~~~

偶には？(1)

先日、某コミュニケーションアプリ上で、こんな積分の問題を見かけました。

$\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+5\cos x)^{n}\sin m x}{7+5\cos x}d x$

(一部改変しています)

見たとき、『ちょっと面白そうだな。やってやろかな。』と思いました。因みに、出題者は「高校範囲で最高難度」や「意味わからんほど難しい」と謳ってました。

さて、どう解きましょうか。まず、やはり面倒なところを消しましょう。面倒なのは2つあります。① $\cos x$ を含む冪乗、② $\cos x$ を分母に含む分数形、ですね。

まず①から処理しましょう。ここはOne patternですね。二項定理を使います。あとで②の処理をするために、 $7+5\cos x$ を作っておくことを忘れないように！！

$(1+5\cos x)^n=[(7+5\cos x)-6]^n=\sum_{j=0}^{n}{}_n C_j(7+5\cos x)^j(-6)^{n-j}$

これを元の式に代入して、

$\int_{0}^{2\pi}\frac{(1+5\sin x)^{n}\cos m x}{7+5\sin x}d x=\int_{0}^{2\pi}\frac{\sum_{j=0}^{n}{}_n C_j(7+5\sin x)^j(-6)^{n-j}\cos m x}{7+5\sin x}d x=\int_{0}^{2\pi}\left[\sum_{j=1}^{n}{}_n C_j(7+5\sin x)^{j-1}(-6)^{n-j}\cos m x+\frac{(-6)^n\cos m x}{7+5\sin x}\right]d x$

大きく分けて2つにわけることができました。すなわち(A)分母を①の処理ついでに②の処理対策したおかげで回避できた部分、(B)それが通用しなかった部分、です。

(A)はChebyshev多項式ってやつを使うと意外と簡単に処理できます。

Chebyshev多項式は、 $f_N(\cos\theta)=\cos N\theta$ で表される $f_N(x)$ および $g_N(\sin\theta)=\sin N\theta$ で表される $g_N(x)$ を言います。厳密には、 $N$ が奇数のとき $\sin x$ のみで表される多項式で、 $N$ が偶数のとき $\sin x$ の多項式と $\cos x$ の積で表されます。

すると、 $\sin N x$ は $\sin^k x$ (k=1,2,3,,,N)の総和で書き表されます。或いは、 $\sin^k x$ は $\sin x$ から $\sin k x$ までの総和で書き表される。すなわち、

$\cos^k x=\sum_{l=0}^{k}a_l\cos l x$

とかける。また、三角関数の直交性から

$\int_{0}^{2\pi}\sum_{j=1}^{n}{}_n C_j(7+5\cos x)^{j-1}(-6)^{n-j}\sin m x d x=\int_{0}^{2\pi}\sum_{j=1}^{n}{}_n C_j\sum_{k=0}^{j-1}{}_{j-1}C_{k}7^{j-1-k}(5\cos x)^{j-1}(-6)^{n-j}\sin m x d x=\int_{0}^{2\pi}\sum_{j=1}^{n}{}_n C_j\sum_{k=0}^{j-1}{}_{j-1}C_{k}7^{j-1-k}5^{j-1}\sum_{l=0}^k\cos l x(-6)^{n-j}\sin m x d x=0$