アレックスを励ますつもりで「ドンマイ！」って言ったらなんだか反応が悪かった。
日本では、スポーツでミスしたときに「ドンマイ」という言葉をよく耳にしますが、英語で「Don't mind.」とは言いません。これは和製英語。
もしこれをネイティブの人に言った場合、「I don't mind.（私は気にしません）」という意味に捉えられてしまいます。
試合が負けたあとなら、「私はあなたが負けても気にしません」なので、励ましにはなりません。
「Don't worry about it.」「Never mind.」などを使いましょう。