ご報告

超お久しぶりです。仕事がしんどすぎてブログ書く余裕がありませんでした。


今年も年金数理人会試験を受験してきましたが、
無事年金数理と会計経済投資理論に合格しました！

年金数理は正直難しすぎて絶対落ちたと思いましたが、どうやら下駄があった
ようです。50点合格なんじゃないかな？

会計経済投資理論は問題量が異常にありましたが、経済がほぼ満点だったのに
救われました。

この調子で本番のアクチュアリー試験も一気に受かって準会員になりたいもの
ですね。

読者の方にはなんのメリットもないブログでしたが今日はこれで。

２資産＋安全資産の接点ポートフォリオ（会計経済投資理論）

お久しぶりです。もう最近は新しいことは吐き出しきった感があったりして、ブログ書く機会が減っちゃってました。


さて、投資理論の初歩としてポートフォリオのリスクリターン平面についてですが、２種の危険資産＋安全資産がある場合の接点ポートフォリオを求めるのは実はめちゃくちゃ計算が大変です。
そのくせ試験ではちょいちょい出ていて、時間内に計算していたら時間はかかるわ、ミスするのは必至だわで若干鬼門なところがあると思います。

ただし、この話題はほぼ毎年アクチュアリー試験で出題されているため、ここは取りたい！でも問１から接点ポートフォリオ求めよ、なんて言われたら１点も取れない、となるためここで公式として計算結果を書いておきます。これを覚えられれば試験では当てはめるだけ！ですが。。。

市場には危険資産X、Yと安全資産があるとして、X、Yのリターンをそれぞれμx、μy、リターンをσx、σy、相関係数をρとします。リスクフリーレートはrfとします。この時、接点ポートフォリオ上のXとYの投資割合pは次式で表せます（pX+(1-p)Yのpを表します）。



p = {(μy - rf)(σy^2 - σx σy ρ ) + σy^2(μx - μy)}/{(μy - rf)(σy^2 + σy^2 - σx σy ρ ) + (μx - μy)(σy^2 - σx σy ρ )}



・・・こんなの試験中に計算できるわけないでしょ、暗記もほぼ無理ってレベルですがしょうがないので僕は覚えることにしてます。。。

一応この投資割合は、X、Yのみのポートフォリオのうち分散が最小になる投資割合

(σy^2 - σx σy ρ )/(σy^2 + σy^2 - σx σy ρ )

と、よくわかんない投資割合

σy^2/(σy^2 - σx σy ρ )

の加重平均にはなっていますが、そんな考えても暗記は楽じゃなさそうです、なんか意味ある式なんでしょうか。。。。

スケールフリーなパレート分布はＥＬＣ再保険と相性がいい（損保数理）

こんばんわ。また明日からアクチュアリーとは無縁の仕事が始まります。。。




昔指数分布の無記憶性を使って

Ｅ（max(Ｘ－α,0)) = E(X)P(X≧α）=λ exp(-λ/α）

になるからＥＬＣ再保険の計算簡単になります、の話をブログで取り上げた気がしますが、
実はパレート分布も似たようなことができます。

X～Pareto(α,β）として

Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E (Ｙ－γ）Ｐ（Ｘ≧γ）= 　{γ/(α-1)}*(β/γ))^α

ただし、Y～Pareto(α,γ）

が成り立ちます。
じつはパレート分布はスケールフリーの性質があるために

Ｐ（Ｘ≦ｘ｜Ｘ≧γ）　＝　Ｐ（Ｙ ≦ｘ）

が成り立ちます。指数分布の無記憶性は

Ｐ（Ｘ≦ｘ＋α｜Ｘ≧α）＝Ｐ（Ｘ≧ｘ）

なので似てるっちゃにてますね。


ただし指数分布については一次の積率のみならず

Ｅ（max((Ｘ－α)^n,0)) = E(X^n)P(X≧α）,∀ｎ

ですが、パレート分布にはないのでそこはちょっと残念です。



追記(6/4)：あの後いろいろ勉強しているうちに

E(X^n)= (αβ^n)/(α-n)であることに気づきました。
と、いうわけで

Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E ((Ｙ－γ)^n）Ｐ（Ｘ≧γ）=ΣnCk(-1)^{n-k}[{αγ＾n/(α-k)}]*(β/γ))^α

が成立します。別にあんまうれしくないか。。。