こんばんわ。また明日からアクチュアリーとは無縁の仕事が始まります。。。
昔指数分布の無記憶性を使って
Ｅ（max(Ｘ－α,0)) = E(X)P(X≧α）=λ exp(-λ/α）
になるからＥＬＣ再保険の計算簡単になります、の話をブログで取り上げた気がしますが、
実はパレート分布も似たようなことができます。
X～Pareto(α,β）として
Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E (Ｙ－γ）Ｐ（Ｘ≧γ）= {γ/(α-1)}*(β/γ))^α
ただし、Y～Pareto(α,γ）
が成り立ちます。
じつはパレート分布はスケールフリーの性質があるために
Ｐ（Ｘ≦ｘ｜Ｘ≧γ） ＝ Ｐ（Ｙ ≦ｘ）
が成り立ちます。指数分布の無記憶性は
Ｐ（Ｘ≦ｘ＋α｜Ｘ≧α）＝Ｐ（Ｘ≧ｘ）
なので似てるっちゃにてますね。
ただし指数分布については一次の積率のみならず
Ｅ（max((Ｘ－α)^n,0)) = E(X^n)P(X≧α）,∀ｎ
ですが、パレート分布にはないのでそこはちょっと残念です。
追記(6/4)：あの後いろいろ勉強しているうちに
E(X^n)= (αβ^n)/(α-n)であることに気づきました。
と、いうわけで
Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E ((Ｙ－γ)^n）Ｐ（Ｘ≧γ）=ΣnCk(-1)^{n-k}[{αγ＾n/(α-k)}]*(β/γ))^α
が成立します。別にあんまうれしくないか。。。
昔指数分布の無記憶性を使って
Ｅ（max(Ｘ－α,0)) = E(X)P(X≧α）=λ exp(-λ/α）
になるからＥＬＣ再保険の計算簡単になります、の話をブログで取り上げた気がしますが、
実はパレート分布も似たようなことができます。
X～Pareto(α,β）として
Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E (Ｙ－γ）Ｐ（Ｘ≧γ）= {γ/(α-1)}*(β/γ))^α
ただし、Y～Pareto(α,γ）
が成り立ちます。
じつはパレート分布はスケールフリーの性質があるために
Ｐ（Ｘ≦ｘ｜Ｘ≧γ） ＝ Ｐ（Ｙ ≦ｘ）
が成り立ちます。指数分布の無記憶性は
Ｐ（Ｘ≦ｘ＋α｜Ｘ≧α）＝Ｐ（Ｘ≧ｘ）
なので似てるっちゃにてますね。
ただし指数分布については一次の積率のみならず
Ｅ（max((Ｘ－α)^n,0)) = E(X^n)P(X≧α）,∀ｎ
ですが、パレート分布にはないのでそこはちょっと残念です。
追記(6/4)：あの後いろいろ勉強しているうちに
E(X^n)= (αβ^n)/(α-n)であることに気づきました。
と、いうわけで
Ｅ（max(Ｘ－γ,0)) = E ((Ｙ－γ)^n）Ｐ（Ｘ≧γ）=ΣnCk(-1)^{n-k}[{αγ＾n/(α-k)}]*(β/γ))^α
が成立します。別にあんまうれしくないか。。。