こんばんは、最近ブログにかけるようなネタがあんま無くて困ってます。
さて試験で一回出た破産確率の積分微分方程式ですが、教科書の流れに沿わずなるべく早く解く方法を考えたいと思います。
1：存続確率の積分微分方程式を考える
２：初期値は覚える
３：２階の常微分方程式は公式を使う
多分これらが得策かな、と思います。
１⇒ ρ(u) = λ/c { ρ(u) - ∫ ρ(u-x) dF(x)
２⇒ ρ(0) = Θ/(1+Θ)
３⇒ 二次方程式 y^2 + a y + b =0 の解が α、βならば、ρ'' + a ρ' + b =0 の一般解は
ρ(u) = 1 + C exp(αu) + D exp ( βu )
ひとつずつ見ていきます。
１：この方程式は本来微小時間後の破産確率を考えて導出しますがその辺はすっ飛ばします。
右辺の積分の前がマイナスであることと、積分記号の中身が「微小時間で事故が起きたが、破産には至らなくて、その後も破産が起きない確率」と、思えば暗記は楽かと。
２：「ルンドベリモデルにおいて安全割増が０だと必ず破産する」を覚えておけばε(0) =1/(1+Θ)を思い出すでしょう。
ローはεの背反なので式のとおりになります。ちなみに最後に解く微分方程式が二階の場合はρ'(0) = 1/(1+Θ)^2 μ も覚えとく必要があります。
こっちは単に１を一回微分してu=0入れるだけで出るんですがね。
３：教科書だと b =0 のパターンなので、ρ' = ψ 見たいに置いて変数分離でといてますがだるい。
さっさと公式使って初期条件使って答えだしましょう。
ちなみに右辺の頭には必ず１が来ますが、要するにu→∞で右辺の残りは必ず０に収束にします（α, βは必ずマイナス）。
サープラス無限大なら破産しないと言うことです。
あと３の方程式がどうなるかは分布関数F(x)の形によりますが、どうせガンマ分布系のしか解析的に解けませんから結果的にはN階の上微分方程式になります。三階のを解くなら３次方程式の解を用いて、
ρ(u) = 1 + C exp(αu) + D exp ( βu ) + E exp( γ u)
とでもすればいくらでも解けるでしょう、計算が嫌ですが。
また、オススメはしないのですが、解の形はある程度予想つくので最初から上記のローをそのまま１にぶち込む＋初期条件で答えは出ることはでます。ただ計算大変だと思います。
今年でないかなぁ・・・。こういう方針が決まってるものって楽なんですよね。。。
さて試験で一回出た破産確率の積分微分方程式ですが、教科書の流れに沿わずなるべく早く解く方法を考えたいと思います。
1：存続確率の積分微分方程式を考える
２：初期値は覚える
３：２階の常微分方程式は公式を使う
多分これらが得策かな、と思います。
１⇒ ρ(u) = λ/c { ρ(u) - ∫ ρ(u-x) dF(x)
２⇒ ρ(0) = Θ/(1+Θ)
３⇒ 二次方程式 y^2 + a y + b =0 の解が α、βならば、ρ'' + a ρ' + b =0 の一般解は
ρ(u) = 1 + C exp(αu) + D exp ( βu )
ひとつずつ見ていきます。
１：この方程式は本来微小時間後の破産確率を考えて導出しますがその辺はすっ飛ばします。
右辺の積分の前がマイナスであることと、積分記号の中身が「微小時間で事故が起きたが、破産には至らなくて、その後も破産が起きない確率」と、思えば暗記は楽かと。
２：「ルンドベリモデルにおいて安全割増が０だと必ず破産する」を覚えておけばε(0) =1/(1+Θ)を思い出すでしょう。
ローはεの背反なので式のとおりになります。ちなみに最後に解く微分方程式が二階の場合はρ'(0) = 1/(1+Θ)^2 μ も覚えとく必要があります。
こっちは単に１を一回微分してu=0入れるだけで出るんですがね。
３：教科書だと b =0 のパターンなので、ρ' = ψ 見たいに置いて変数分離でといてますがだるい。
さっさと公式使って初期条件使って答えだしましょう。
ちなみに右辺の頭には必ず１が来ますが、要するにu→∞で右辺の残りは必ず０に収束にします（α, βは必ずマイナス）。
サープラス無限大なら破産しないと言うことです。
あと３の方程式がどうなるかは分布関数F(x)の形によりますが、どうせガンマ分布系のしか解析的に解けませんから結果的にはN階の上微分方程式になります。三階のを解くなら３次方程式の解を用いて、
ρ(u) = 1 + C exp(αu) + D exp ( βu ) + E exp( γ u)
とでもすればいくらでも解けるでしょう、計算が嫌ですが。
また、オススメはしないのですが、解の形はある程度予想つくので最初から上記のローをそのまま１にぶち込む＋初期条件で答えは出ることはでます。ただ計算大変だと思います。
今年でないかなぁ・・・。こういう方針が決まってるものって楽なんですよね。。。