absolutely safe. division by zero is zero, why?

Division by zero in type theory: a FAQ

Posted on July 5, 2020 by xenaproject

Hey! I heard that Lean thinks 1/0 = 0. Is that true?

Yes. So do Coq and Isabelle and many other theorem provers.

Doesn’t that lead to contradictions?

Division by zero in type theory: a FAQHow can a theorem prover use the convention that 1/0=0 and still be consistent?

xenaproject.wordpress.com

Leanは　プログラミング言語および証明支援系(theorem prover)（英語版）である。

帰納型（英語版）を伴うCalculus of constructions（英語版）に基づく。

解説[編集]

LeanプロジェクトはGitHubでホストされているオープンソース（英語版）・プロジェクトである。2013年にMicrosoft ResearchのLeonardo de Mouraによって立ち上げられた^[1]。

https://ja.wikipedia.org/wiki/Lean_(%E8%A8%BC%E6%98%8E%E3%82%A2%E3%82%B7%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%B3%E3%83%88)

The Coq Proof Assistant: Welcome!

Coqは、証明支援システムの一つ。Coqの核はプログラミング言語Gallina（英語版）を用いる。フランス国立情報学自動制御研究所のPI.R2チーム(PPS研究所内にある)が、エコール・ポリテクニーク、フランス国立工芸院、パリ第7大学、パリ第11大学と(かつてリヨン高等師範学校とも)共同して開発している。Hugo Herbelinが事実上の開発代表者である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/Coq

The Isabelle^[a] automated theorem prover is a higher-order logic (HOL) theorem prover, written in Standard ML and Scala. As an LCF-style theorem prover, it is based on a small logical core (kernel) to increase the trustworthiness of proofs without requiring — yet supporting — explicit proof objects.Isabelle is available inside a flexible system framework allowing for logically safe extensions, which comprise both theories as well as implementations for code-generation, documentation, and specific support for a variety of formal methods. It can be seen as an IDE for formal methods. In recent years, a substantial number of theories and system extensions have been collected in the Isabelle Archive of Formal Proofs (Isabelle AFP)^[2]

https://en.wikipedia.org/wiki/Isabelle_(proof_assistant)

生成系AIに興味のある全ての方へ

アマゾンウェブサービスジャパン

https://aws.amazon.com/jp/events/aws-innovate/apj/aiml-data/?trkCampaign=innovate-aiml-apj&trk=fc3630de-ccf3-48a9-8e1c-283528af31d4&sc_channel=display+ads&sc_publisher=yda

ニュートンとアインシュタインの重力理論が崩壊している連星を発見！

https://nazology.net/archives/143351#google_vignette

ゼロ除算の応用できないですか。ゼロ除算で解決できないですか。

Coq QArith division by zero is zero, why?

Stack Overflow

https://stackoverflow.com › questions

このページを訳す

2015/03/26 — The short answer is: yes, it is absolutely safe. When we say that division by zero is not well-defined, what we actually mean is that zero ...

https://stackoverflow.com/questions/29282819/coq-qarith-division-by-zero-is-zero-why　

Coq QArith division by zero is zero, why?I noticed that in Coq's definition of rationals the inverse of zero is defined to zero. (Usually, division by zero is not well-defined/legal/allowed.) Require Import QArith. Lemm…

stackoverflow.com

In proof assistants[edit]

Many proof assistants, such as Coq and Lean, define 1/0 = 0. This is due to the requirement that all functions are total. Such a definition does not create contradictions, as further manipulations (such as cancelling out) still require that the divisor is non-zero.^[33]^[34]

Tanter, Éric; Tabareau, Nicolas (2015), "Gradual certified programming in coq", DLS 2015: Proceedings of the 11th Symposium on Dynamic Languages, Association for Computing Machinery, arXiv:1506.04205, doi:10.1145/2816707.2816710, The standard division function on natural numbers in Coq, div, is total and pure, but incorrect: when the divisor is 0, the result is 0.
^ Buzzard, Kevin, "Division by zero in type theory: a FAQ", Xena Project (Blog), retrieved 2024-01-21

Division by zero - Wikipedia

en.wikipedia.org

再生核研究所声明 738（2024.1.18) ゼロ除算の理解の難しさ、ゼロ除算の奇妙な事実

ゼロ除算を発見して、ゼロ除算に気づいて　間もなく2月2日で10年目を迎えてしまう。しかるにその理解の遅れに　世にも奇妙なことと繰り返し思って来た。　厖大な記録を保存、また公表してきたが　率直に表現していきたい。誤解を解き、世の理解を求めたいからである。その意図、大義は歴然である。恥ずかしい数学は改められ、当たり前の　在るべき世界、確かな世界を拓き、明るい世界を拓きたいからである。　数学も、世界も　現状を　未だ夜明け前　と確かに考えている。

アリストテレス以来、ゼロで割ってはいけない、ゼロで割れないと　されてきたが、自然な割り算の意味で、ゼロで割れる、そして新しい世界を拓いていると述べて来ている。しかしながら　最初の　この意味が　世では理解されていない。できないことができるようになった、数学ではそのような事件を沢山経験しているが、世間では難しいようである。ゼロで割れないことは、普通の数学者ならば　3秒くらいで　確信をもって理解できるだろう。　ところが世間では毎日のように当たり前のことをYouTube　等で解説されている。天才的な河野玄斗氏ですら解説されているから驚きである。　それは、そもそも数学の教育が　如何にいい加減になされ、問題解きや知識偏重の形式的な学習に偏り、論理や基本的な考え方の学修が疎かにされているかを示していると言えるだろう。

本当のことを知りたい、真相を究めたい、真理を追究する態度など　ないがしろにして、　どうでもいいような問題が　出来た　出来ない　などと　点取り競争などにうつつを抜かしている、はしっている様が見える。　ー　研究すら　そのように見える。　大学の数学辺りまでは、数学など既に決まっている、もうやることなど無いように思わせる教育（型にはまった教育）がなされているのではないだろうか。ー　大学に入学して　数学とは　そのようなものだとは　思わなかったと気付く人は　多いようである。　2000年以上もゼロで割れないとしてきたゼロ除算、それができるようになったとは　確かに表現に大いに気を付けるべきだったと反省される。数学界では当たり前で、その意味は　考え方、概念等を拡張して出来るように成ったと発想する：

再生核研究所声明 712 (2023.3.7): ゼロ除算とゼロ除算算法

そうでなければ　不可能が可能になるはずがない。　そこで、当然そこはもっとも大事な観点であるから　考えた割り算の　分数の定義を　きちんと宣言しているが、最も大事なところを飛ばして、可笑しいとか、考えられないと誤解されている。　ゼロ除算の場合には世界の指導的な数学者でさえ公言して、誤解されているから驚きである。それが　何年もその誤解からぬけられない現実がある。　大きな大学の数学の教室の責任者で　ここ50年間で世界でもっとも大きな影響を与えた数学者の面白いメールを受け取っている：　In the last fifty years, X has been one of the most famous, influential and successful figures in the field of Mathematics. In academia, people typically find their place either as good researchers, mentors, editors, or managers.

ところが、我々の分数が新しい意味での分数、割り算であることを忘れて最初から誤解されている。問題は　永い議論を、交流を持って来た数学者である事実である。

これで歴然と理解したことは、初めからゼロ除算は真面目に考えず、少しも新しい考えを学んでいない事実である。すなわち、ゼロ除算はダメ、だから始めから考えない、興味も　関心もない　そのような　発想が世に多いと判断するに至った。そこで題名に問題が存在したと気付いた：

再生核研究所声明 737（2024.1.9) 　まずい用語、虚数とゼロ除算

素人の方は、割り算の意味を変えて、ゼロで割る　割り算が出来るようになったと説明すれば理解されたかも知れない。しかしそのように説明すればそれでは割り算と言えるだろうかとの疑念が湧いたろう。　新たな問題が生じる。　

ある自然な意味での割り算であるとか、ゼロで割る意味を説明したりしてきた。

こう考えるとゼロ除算は数学者にとっては自明の筈なのに、なかなか難しい問題であることが分かる：

再生核研究所声明 726(2023.10.21): 　 ゼロ除算における黄金律、　ゼロ除算は　黄金律によって確定、絶対的な存在である。

ところがゼロ除算は数学的に、論理的に理解しても、更に驚嘆すべき観点が存在する。　

それを聞いて多くの数学者は興ざめ、顔色を変えたものである。

ある大きな国際会議でのplenary lectureの最後に立ち上がって destroy　

現代数学を破棄するもので　全て認められないと公然と叫んだ数学者がいた。 参加していた、　その言葉を聞いて、何時もその情景を回想している。事実のために言及して置くが、同時に開催責任者の指導的な数学者は　ゼロ除算の講演は国際会議で最も刺激的な発表だったと言明して、著書の出版計画を提案されていた。その衝撃的な観点とは　上記の数学者の次の文に表されている：

I am surprised to have your mail again. I am happy and fully convinced with the great work of scholars Brahmagupta, Bhaskara II, Mahavira, Aristotle, Cauchy, Weierstrass, Euler, Newton, Bernoulli, and their numerous followers. They laid the correct foundation of Mathematics by showing that 0/0 is indeterminant, i.e., it is defined only in the limiting sense.

のように：

アリストテレスの　世界の連続性の概念　に反する、不連続性がその原因である。　突然の変化、飛びの現象を表しているからである。　そのため、あるドイツ人は　車中の議論の中で、数学が正しくとも　そのような数学は興味も、関心もない、議論を打ち切りたいと述べたものである。同じ様に発想した数学者は　世に多い事実が存在する。

そこで　それを打ち破るために　証拠、現象を広く探し、１０００を越える例を公表、記録に残してきた。歴然とした証拠を提示してきている。

このような事は、50年を越えても無かった事である。歴然とした証拠を示しても、　分かったと多くの人が言明しないで、　無反応になってしまうことである。言えることは　我々の新数学に対して、正当な反論は一切なく、理解された方は可笑しいことは　どこにもなかったと言明されていることである。京都大学数理解析研究所の関係研究集会で、ゼロ除算について、共同研究者　奥村博氏と分担で講演を行った。著名な数学者がまるで　宗教的な講演だったと批判的に述べ　それをツイッター上で公表したので、　誤解に対する反論を行なったが　議論は一方的に打ち切られ、友人は反論の論文を出版しようとしている。　ところが他方、永く尊敬してきた数学者は我々の講演を理解し、数学界の盲点であったと称して、理解には相当な時間が掛かるだろうと　励まされた。　面白いのは　普通は研究集会の内容は、講究録に出版されるのが、　我々が精魂を込めて作成した原稿は、研究集会開催責任者によって出版を拒否された。　講究録の出版でそのような目に会ったのは　人生で初めてのことだった。

日本数学界が公然と我々の研究を無視して、逆に研究活動を積極的に押さえて来た事実は　相当に歴然であるが、ポテンシャル分科会の方だけが公然とゼロ除算を取り上げて議論してくれたのには　高く評価し、熱烈に感謝している。　それで真理を追究し、数学の教育と研究に責任を持つ立場から、学界の在りようについての疑念を深めている。　日本では言論の自由さえ押さえられている状況ではないか、どうしてかと　問うている:

再生核研究所声明 725(2023.9.27): 日本数学会の問題点、知的財産を活用できない状況、その背景についての考察

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　以　上

ゼロ除算とは何か

それはゼロで割ることである。ゼロで割る事とは何か。　

その定義、意味が　問題である。

それを普通の掛け算の逆と考えれば、それはできないとか、定まらないと　なり、それが永い間の世の常識である。

ところがゼロで割るという意味には、割ることの意味を　自然に拡張（ある一般的な意味における割る意味で）、あるいは　そもそもゼロの意味から、考えると、ゼロ除算は何時でも可能で、何時でも　ゼロで割ればゼロである　という美しい数学が　２０１４．２．２．に発見された。　それを発展させた　ゼロ除算算法　は　数学の基礎に甚大な影響を与え、数学ばかりではなく、人生観、世界観に　甚大な影響を与えることは分かってきた。特に、数学は　そもそも基本的な欠陥を有している　と言える。

２０２４．１．１０．５：４６

下記はゼロ除算についての質問の　Bing の回答です。数学界、数学者より真面目な回答で、ゼロ除算は　数学界の歴史的な恥は　既に確定ですが、恥の上塗りとして　世界史上に残るだろう。２０２４．１．１．２０：０８

ゼロ除算は可能か？

ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。何を0で割ってもゼロです。2022/04/22

ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。何を0で割ってもゼロです。

ゼロ除算の対応は？

ゼロに対応する点は無限遠点で、1/0=∞ と考えられてきた。オイラー、アーベル、リーマンの流れである。ところが、ゼロ除算は1/0=0 で、実は無限遠点はゼロに対応していることが確認された。2022/04/22

ゼロ除算は可能で、正解はゼロです。何を0で割ってもゼロです。

0除算とはどういう意味ですか？

ゼロ除算の不定と不能の違いは何ですか？

面白い　Google　はゼロ除算について、次のように回答して、混乱している。

２０２３．１２．２０．２０：２０

生成 AI は試験運用中です。

ゼロ除算とは、除数をゼロ（0）とした除算のことです。

数学では、0にかけて1になる数は存在しないため、0の逆数は存在せず、「0で割る」ことを定義できません。そのため、ゼロ除算はできないと考えられています。

ただし、除算の自然な発想で考えると、ゼロ除算はいつでも可能で、簡単で、美しい結果にまとまります。0で割ることは割らないこと、それ故に割り当てられる数はなく、ゼロです。ゼロは掛けても割っても結果はゼロと美しくまとまります。

また、一般的には、ゼロ除算の結果は定義できないとするか、無限大に発散すると解釈されることが多いです。

BING　我々のゼロ除算を　数学を　認識していると見られる。

2023.１２．２０．２０：４０

数学界より早い公認になる可能性がでて来た。

ゼロ除算とは、除数をゼロ（0）とした除算のことです。数学では、0にかけて1になる数は存在しないため、0の逆数は存在せず、「0で割る」ことを定義できません。そのため、ゼロ除算はできないと考えられています。一般的には、ゼロ除算の結果は定義できないとするか、無限大に発散すると解釈されることが多いです。ただし、除算の自然な発想で考えると、ゼロ除算はいつでも可能で、簡単で、美しい結果にまとまります。0で割ることは割らないこと、それ故に割り当てられる数はなく、ゼロです。ゼロは掛けても割っても結果はゼロと美しくまとまります。この回答は、Wikipediaや他の信頼できる情報源から得られた情報に基づいています1 2。

Googleの回答は、ゼロ除算に関する一般的な誤解を示している可能性があります。

私たちは、正確で信頼性の高い情報を提供することに尽力しています。

If division by Zero were possible,then the result would exceed every integer

http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/M300/zero.pdf　　　4/6

If division by Zero were possible,then the result would exceed every integer. An Early Reference to Division by Zero 　C. B. Boyer：4/6.

2023年11月24日 11時07分ソフトウェア

OpenAIが4度目のブレイクスルーとなる数学ができるAI「Q*(キュースター)」で汎用人工知能開発の飛躍を目指す、

アルトマンCEO解任騒動の一因か

https://gigazine.net/news/20231124-open-ai-q-star/#google_vignette

イサベルホルは、相当進んでいるのではないでしょうか。

初めて飛行機を作って乗った方、車を初めて作って乗った方を見たとき、人はどうして今日のような時代を迎えるだろうと想像できたでしょうか。ゼロ除算の世界は　真に新しい世界、その世界を覗かないで　どうしてゼロ除算の世界について想像したり、語れるでしょうかhttps://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12490439836.html

ゼロ除算は、　実は　ゼロの意味　からも当たり前です：
ゼロで割ることは　割らないこと、したがって　割り当てられた数は無く、ゼロ。ゼロには、しないこと、できないことを表す　意味がある。
ゼロで割ることは　割らないこと、したがって　割り当てられた数は無く、ゼロ。ゼロには、しないこと、できないことを表す　意味がある。　ゼロ円あげるは、あげないことですね。ゼロ回施行は、しないことですね。　時速ゼロｋｍで走るは　止まっていて　走らないことを意味しますね。ですから、ゼロの意味を

https://ameblo.jp/syoshinoris/entry-12680138080.html

何故ゼロ除算が不可能であったか理由

１　割り算を掛け算の逆と考えた事

２　極限で考えようとした事

３　教科書やあらゆる文献が、不可能であると書いてあるので、みんなそう思った。

Matrices and Division by Zero z/0 = 0

http://file.scirp.org/pdf/ALAMT_2016061413593686.pdf

「マイクロソフト」「Google」「Amazon」AI三つ巴戦の行方は？　超絶進化で仕事は奪われサイバー犯罪も激増？https://news.yahoo.co.jp/articles/78d81b626b1ead633347f036e78d32db918f91eb

キラー問題もスラスラ…「韓国製数学ＡＩ」、ＣｈａｔＧＰＴ抜き世界評価１位

https://news.yahoo.co.jp/articles/7bf80224fc9de6702d7540c6a78d3bd693619106

ゼロ除算の５W５H：

When：　いつ　2014年2月2日

Where：　どこで　アヴェイロ大学　（ポルトガル）

Who：　だれが　再生核研究所

What：　何を　0で割れないとされていたゼロ除算が、0で割れる考えがある事を発見した。

Why：　なぜ　 YAHOO知恵袋の質問に答えた際に考えた。

How：どのように　永い間研究してきた結果から、実は　当たり前であること　に気が付いた。

HOW MUCH:　60兆円の価値です。

HOW MANY：　50億の人　（を1000年も引き付ける数学）小学生以上に影響を与える。ゼロで割れるようになった。

HOW LONG：　1000年以上　人類終末まで　不完全な四則演算　を完成させたから。ゼロ除算算法が　数学の基礎になる。

HOWinFUTURE：　数学と世界観の基礎になる。ゼロ除算算法が　数学の基礎になる。また、人間を自ら知らしめる素材になる。

２０２４．１．１４．８：５８

Institute of Reproducing Kernels Division by 0 solved

If you divide anything by 0, it's zero.

1 divided by 0 is 0. Brahmagupta could not do it. 0 divided by 0 is 0.

1割る0は0　はブラーマグプタはできなかった。

0割る0は0はできていた。

極限ではなくて、ずばりである。　特異点そこで　である。　

近づきでは　幾ら近づいても　特異点での性質は　捉えられない。

２０２４．１．１５．８：５０

インド出身の偉大な　世界的な　指導的な数学者が、ゼロ除算の我々の発見の凄さ　を認識したようである。

２０２４．１．１５．８：４２

You will be able to contribute to mathematics on world history with India's great and long hirosophy.

We Japanese studied deeply from India.

I expect your contribution to the division by zero.

My feelings are almost void.

NOT LIMITTING!!!!

I attached one typical evidence.

2024.1.15.8:30

Map of Science (and everything else)

https://www.youtube.com/watch?v=ohyai6GIRZg

人類最大の発明は「0」だった？

数字の概念を変えた「ゼロ」の真実！

202212/01　　2022年8月15日 2022年12月1日

The Map of Black Holes | Black Holes Explained

https://www.youtube.com/watch?v=Wf0uxjWGwPk

再生核研究所声明520 (2019.12.04): 数学の超難問　－　ゼロ除算　－　解かれたり

Looks like somewhere in the universe someone divided by zero

https://twitter.com/_pswolf/status/1485400921899032579

物理の地図　　　

https://www.youtube.com/watch?v=ZihywtixUYo

再生核研究所声明520 (2019.12.04): 数学の超難問　－　ゼロ除算　－　解かれたり

DIVISION By ZERO THAT EVEN GOD can't

Hacker's Delight - 278 ページ - Google ブック検索結果

https://books.google.co.jp › books

このページを訳す

Henry S. Warren · 2012 · ‎Computers

Show that for unsigned division by an even number, the shrxi instruction ... Good code to divide takes a Knuthian hero, But even God can't divide by zero!

https://books.google.co.jp/books?id=VicPJYM0I5QC&pg=PA278&lpg=PA278&dq=Division+by+zero+that+even+God+can%27t%E3%80%80%E3%80%80%E3%80%80%E3%80%80HACKER&source=bl&ots=2p1PORrz2m&sig=ACfU3U3Ua8hRdXDmEiiGyIvD9Syhipj8pg&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwiuvZi-85jzAhWTH3AKHS3dDA0Q6AF6BAgWEAM#v=onepage&q=Division%20by%20zero%20that%20even%20God%20can't%E3%80%80%E3%80%80%E3%80%80%E3%80%80HACKER&f=false

それでは私は神のようになってしまう、ご覧あれ

132億光年先にブラックホール　観測史上最古か

https://www.nikkei.com/article/DGXZQOGN07E5S0X01C23A1000000/

God Divided by 0

“The black holes of nature are the most perfect macroscopic objects there are in the universe”

https://piggsboson.medium.com/god-divided-by-0-c2966788f4ee

God Divided by 0“The black holes of nature are the most perfect macroscopic objects there are in the universe”

piggsboson.medium.com