Brahmasphutasiddhanta

2015年10月28日(水)

テーマ：数学

ブラーマ・スプタ・シッダーンタ (Brahmasphutasiddhanta) は、7世紀のインドの数学者・天文学者であるブラーマグプタの628年の著作である。表題は宇宙の始まりという意味。
目次 [非表示]
1 概要
2 特徴
3 影響
4 参考文献
5 関連項目
概要[編集]
インドの他の多くの著作と同じく、全て韻文で書かれている。 25章構成であるが、内23章は天文学に、2章はインドの数学にあてられている。天文学について書かれた部分では、蝕の予測、惑星の位置の決定、月の満ち欠け等に触れている。第12章はガニタ（算術）、第18章はクッタカ（代数）について書かれている。
数としての「0（ゼロ）の概念」がはっきりと書かれた、現存する最古の書物として有名である。ブラーマグプタの公式、ブラーマグプタの二平方恒等式、そしてブラーマグプタの問題と呼ばれる二次不定方程式（x2 - 92y2 ＝ 1）の最小整数解（x ＝ 1151, y ＝ 120）も同書で示している。
特徴[編集]
以下では特に数学的な部分の特徴について記述する。
0の加減乗除を扱っている。但し、0/0=0という間違いを犯している。
方程式中に負数が登場することを許した
更に方程式の解が負である場合も認めた
二次方程式の一般解を考えている
二次方程式の解に無理数を認めた
不定方程式の一般解を求めようとした
初歩的な代数的表記を行っている。例えば、
負数を表現するのに数の上に点を打った
未知数を色の名前で呼んだ
更に表記を単純にするために色名の短縮形を用いた、など
上記の結果として、文章の抽象化が進んでいる

当時から重要な著作だと認識された為、数多くの注釈書が書かれている。バースカラ2世は、本書の内容を発展させてペル方程式、不定二次方程式、二次ディオファントス方程式の一般解を見つけた。
ファザーリとヤークブ・イブン・タリク（Yaʿqūb ibn Ṭāriq）によってサンスクリット語からアラビア語に翻訳され、『シンドヒンド』(Sindhind) と呼ばれた。インドの数学、天文学の成果がイスラーム世界にもたらされるきっかけとなり、この成果は天文表として普及する。
参考文献[編集]
ジョージ・G・ジョーゼフ『非ヨーロッパ起源の数学』垣田高夫、大町比佐栄訳、講談社、1996年。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%97%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%BF

『Brahmasphutasiddhanta』ブラーマ・スプタ・シッダーンタ (Brahmasphutasiddhanta) は、7世紀のインドの数学者・天文学者であるブラーマグプタの628年の著作である…

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再生核研究所声明２２５（2015.4.23）偉大な数ゼロ　―ゼロの教え

(最近、急に気に成り出した心境で、本声明は　１種の悟りの心得に通じるので、概ね退職された人向きと言える。)

ゼロ除算の結果は、直角双曲線関数　ｙ＝１/ｘ　の原点における値が　ゼロであると言っている。それは、まるで、原点でゼロが正の量と負の量に　爆発して双方に広がっているようである。その様は現代物理学の学説、ビッグバン、すなわち、宇宙はあるとき、無から爆発によって突然現れ、その爆発の続きが続いているという。　無からの発生は、プラス、マイナス、とで合わせてゼロで、無からの発生はおかしいとも言えないという。これは、全体としてゼロとして釣り合っていることを意味する。universe　が全体として　ゼロとして釣り合っているということは　奇妙にも我々の心に響くものがある。

苦労しただけ、喜びが湧くのでは？

明るい面があるだけ、暗い面があるのでは？

ゼロは基準値であり、長命な生物も短命な生物も、　長命な人生も、短命な人生も同じようなものではないだろうか？

幼いころ、麦畑の上でひばりのさえずる情景を見たのを想い出す。　飛び立っては天高くまい上がり、やがて巣に戻る。　地平ゼロから始まって地平ゼロに帰する。永くさえずっていても、短くても結局同じではないか。　人間も誕生して、結局は元に戻る。結局、みんな同じようではないだろうか。　人生の長短など本質的には問題では無くて、みんな同じようではないだろうか。　ゼロから始まってゼロに帰する、ゼロとは　そのようなものではないだろうか。

他方、ゼロ除算の複素版は、平面上では　どのような方向でも　どんどん原点から遠ざかれば、無限遠点の１点に行くが、　その無限遠点は、突然、原点に戻っている　ことを述べている。これは結局のところ、ゼロから始まってゼロに帰すること、すなわち、元に戻る　universe　の原理を教えているのではないだろうか。

本声明は、ゼロの心境が大事なこと　を述べている。

また、始めが大事であること　を述べている。

以　上

再生核研究所声明２２７（2015.5.2）　日本の仏教の在り様についての疑問、キリスト教との奇妙な違い

（これは　９０歳のおばあさんが　散歩の折り　休んで行かないと椅子を用意してくれたとき、神の問題と人間の終末における仏教とキリスト教の違いを話し、意見が一致した点における　仏教の在り様についての問題提起である）

その時、神様は存在しますか　と聞いたのであるが、きっぱりと　にこやかに　存在すると言明されたのは印象深い。しかし、神についてさらには詳しくは聞かなかった。記憶は何でもどんどん薄れていくといっていた。しかしながら、次の神の概念は　諒として微笑みをもって受け入れられたと思う：

再生核研究所声明122　(2013.8.1)：　神の存在と究極の信仰　－　人間よ　想い煩うことはない。　神は存在して、一切の存在と非存在を　しっかりと支えられておられる、　人は必要なときに必要なだけ、　念じるだけで良い。

そのときは、マリア様と幼児キリストの代わりに、お母さんと懐かれている赤ちゃんの喩えで話した。本声明の趣旨を述べる背景として、次の文脈を参照したい：

再生核研究所声明221（2015.4.3）　ある数学者の仏教解説

―　（前略）：　このように素晴らしい仏教の世界を　みると、日本の仏教界の現状については　返す　がえすも　残念に思われることがある。
日本の仏教が、葬式や先祖さまの供養ばかりの存在に　感じられて、生きた生活や社会に十分活かされていないのではないであろうか。仏教はもともと、人を救い、社会に活かすべきものとして、発祥、発展したのではないだろうか。日常に起きる、心の悩みや社会の問題に　仏教が本質的に大きな役割を果たせる思想を持っているのは自明であり、社会に活かせない状況は、誠に残念であると言わざるを得ない。
カトリック教の熱心なヨーロッパの田舎街で５年間暮らしたが、そこでは日常的に　教会は活動していて、土曜日や日曜日、祭日など教会は人々で溢れ、街は沢山の教会を有し、祭司様は　街の尊敬と親愛、信頼を受けていて、代表的な国立大学の卒業式にも臨席される程である。教会が街の精神的な支柱、中枢になっていることが良く分かる。
人々は人生を肯定され、安心して魂を天に返され、その際、親族の嘆きはそうは深くはなく、淡々としており、間をとってから、親しい友人たちをレストランに招待して、心を切り替えているようであった。教会はいろいろな相談や悩みなどを議論するサロンのような機能さえ果たしていた。

本声明の趣旨を　簡潔に次のように表現したい：　キリスト教では　終末　人が生きている内に天にかえる心構えをさとし、人は人生を肯定して安心して　逝かれるに対して、多くの仏教の場合は如何であろうか。死んだ後に　お経をあげているのが現状ではないだろうか？　一番大事な時にいなくて、済んでから何かされているようではないだろうか？　―　ここは、生きている人に、みなさんもこのようになると　実は生きている人に対してさとしているのであろうか。　先祖さまの供養も　同じような意味を持つとも考えられる。　仏教徒は　ゆかしいからそうかも知れない。―　他方、多くの宗教の大きな意義が　死からの解放、自由　にあるのではないだろうか。お釈迦様は　死者を弔うために、先祖さまを供養するために　いろいろ教えられたのではなくて、　人々を救うために努力されたのではないだろうか。

この観点、多くの仏教徒に　仏教の在り様について、検討して頂きたいと考える。　折角の素晴らしい宗教が、お釈迦様の精神　が活かされていないのではないかと、感じている。この観点は　上記９０歳の素晴らしい　おばあさんの気持ち　と一致していると感じた。

日本の神道も　素晴らしいのに、上記のように活かされていない面が多いのではないだろうか。―　もっとも、神道は　無言で　雰囲気で伝えようとしているようにもみえる。

以　上

再生核研究所声明２３２（2015.5.26）無限大とは何か、無限遠点とは何か。―　驚嘆すべきゼロ除算の結果

まず、ウィキペディアで無限大、無限遠点、立体射影：　語句を確認して置こう：

無限大 ：記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。大雑把に言えば、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付けは文脈により様々である。例えば、どの実数よりも大きな（実数の範疇からはずれた）ある特定の“数”と捉えられることもある（超準解析や集合の基数など）し、ある変量がどの実数よりも大きくなるということを表すのに用いられることもある（極限など）。無限大をある種の数と捉える場合でも、それに適用される計算規則の体系は1つだけではない。実数の拡張としての無限大には ∞ (+∞) と −∞ がある。大小関係を定義できない複素数には無限大の概念はないが、類似の概念として無限遠点を考えることができる。また、計算機上ではたとえば∞+iのような数を扱えるものも多い。

無限遠点 ：ユークリッド空間で平行に走る線が、交差するとされる空間外の点あるいは拡張された空間における無限遠の点。平行な直線のクラスごとに1つの無限遠点があるとする場合は射影空間が得られる。この場合、無限遠点の全体は1つの超平面（無限遠直線、無限遠平面 etc.）を構成する。また全体でただ1つの無限遠点があるとする場合は（超）球面が得られる。複素平面に1つの無限遠点 ∞ を追加して得られるリーマン球面は理論上きわめて重要である。無限遠点をつけ加えてえられる射影空間や超球面はいずれもコンパクトになる。

立体射影：　数学的な定義

· 単位球の北極から z = 0 の平面への立体射影を表した断面図。P の像がP ' である。

· 冒頭のように、数学ではステレオ投影の事を写像として立体射影と呼ぶので、この節では立体射影と呼ぶ。この節では、単位球を北極から赤道を通る平面に投影する場合を扱う。その他の場合はあとの節で扱う。

· 3次元空間 R³ 内の単位球面は、x² + y² + z² = 1 と表すことができる。ここで、点 N = (0, 0, 1) を"北極"とし、M は球面の残りの部分とする。平面 z = 0 は球の中心を通る。"赤道"はこの平面と、この球面の交線である。

· M 上のあらゆる点 P に対して、N と P を通る唯一の直線が存在し、その直線が平面z = 0 に一点 P ' で交わる。Pの立体射影による像は、その平面上のその点P ' であると定義する。

無限大とは何だろうか。　図で、xの正方向を例えば考えてみよう。　０、１、２、３、、、などの正の整数を簡単に考えると、　どんな大きな数（正の) n　に対しても　より大きな数n + 1　が　考えられるから、正の数には　最も大きな数は存在せず、　幾らでも大きな数が存在する。限りなく大きな数が存在することになる。　そうすると無限大とは何だろうか。　普通の意味で数でないことは明らかである。　よく記号∞や記号＋∞で表されるが、明確な定義をしないで、それらの演算、２　ｘ∞、∞＋∞、∞-∞、∞x∞,∞/∞ 等は考えるべきではない。無限大は普通の数ではない。　無限大は、極限を考えるときに有効な自然な、明確な概念、考えである。　幾らでも大きくなるときに　無限大の記号を用いる、例えばxが　どんどん大きくなる時、　x^2 (xの２乗)は　無限大に近づく、無限大である、無限に発散すると表現して、lim_{x \to +\infty} x＾２ =＋∞　と表す。　記号の意味はxが　限りなく大きくなるとき、x　の２乗も限りなく大きくなるという意味である。無限大は決まった数ではなくて、どんどん限りなく　大きくなっていく　状況　を表している。

さて、図で、　x が正の方向で　どんどん大きくなると、　すなわち、図で、P　ダッシュが　どんどん右方向に進むとき、図の対応で、Pがどんどん、　Nに近づくことが分かるだろう。

x軸全体は　円周の１点Nを除いた部分と、　１対１に対応することが分かる。　すなわち、直線上のどんな点も、円周上の１点が対応し、逆に、円周の１点Nを除いた部分　のどんな点に対しても、直線上の１点が対応する。

面白いことは、正の方向に行っても、負の方向に行っても原点からどんどん遠ざかれば、円周上では　Nの１点にきちんと近づいていることである。双方の無限の彼方が、N　の１点に近づいていることである。

この状況は、z平面の原点を通る全ての直線についても言えるから、平面全体は球面全体からNを除いた球面に　１対１にちょうど写っていることが分かる。

そこで、平面上のあらゆる方向に行った先が存在するとして 想像上の点　を考え、その点に球面上の点　Nを対応させる。　すると、平面にこの想像上の点を加えた拡張平面は　球面全体　（リーマン球面と称する）　と１対１に　対応する。この点が　無限遠点で符号のつかない　∞　で　表す。　このようにして、無限を見ることが、捉えることができたとして、喜びが湧いてくるのではないだろうか。　実際、これが１００年を越えて、複素解析学で考えられてきた無限遠点で　美しい理論体系を形作ってきた。

しかしながら、無限遠点は　依然として、数であるとは言えない。人為的に無限遠点に　代数的な構造を定義しても、人為的な感じは免れず、形式的、便宜的なもので、普通の数としては考えられないと言える。

ところが、ゼロ除算の結果は、1 / 0　はゼロであるというのであるから、これは、上記で何を意味するであろうか。基本的な関数　W＝1/z の対応は、z =0　以外は１対１、z =0　は　W=0　に写り、全平面を全平面に１対１に写している。　ゼロ除算には無限遠点は存在せず、　上記　立体射影で、　Nの点が突然、0　に対応していることを示している。　平面上で原点から、どんどん遠ざかれば、　どんどんNに近づくが、ちょうどN　に対応する点では、　突然、0　である。

この現象こそ、ゼロ除算の新規な神秘性である。

上記引用で、記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）、オイラーもゼロ除算は　極限の概念を用いて、無限と理解していたとして、天才　オイラーの間違いとして指摘されている。

ゼロ除算は、極限の概念を用いて得られるのではなくて、純粋数学の理論の帰結として得られた結果であり、世の不連続性の現象を表しているとして新規な現象の研究を進めている。

ここで、無限大について、空間的に考えたが、個数の概念で、無限とは概念が異なることに注意して置きたい。　１０個、１００個、無限個という場合の無限は異なる考えである。自然数１，２，３、、、等は無限個存在すると表現する。驚嘆すべきことは、無限個における無限には、幾らでも大きな無限が存在することである。　例えば、自然数の無限は最も小さな無限で、１ｃｍ　の長さの線分にも、１ｍの長さの線分にも同数の点（数、実数）が存在して、自然数全体よりは　大きな無限である。点の長さはゼロであるが、点の集まりである１ｃｍの線分には長さがあるのは、線分には点の個数が、それこそ目もくらむほどの多くの点があり、長さゼロの点をそれほど沢山集めると，正の長さが出てくるほどの無限である。

以　上

世界中で、ゼロ除算は　不可能　か　

可能とすれば　∞　　だと考えられていたが・・・

しかし、ゼロ除算　はいつでも可能で、解は　いつでも０であるという意外な結果が得られた。

再生核研究所声明２３６（2015.６.18）ゼロ除算の自明さ、実現と無限遠点の空虚さ

（２０１５．６．１４．０７：４０　頃、食後の散歩中、突然考えが、全体の構想が閃いたものである。）

２０１５年３月２３日、明治大学における日本数学会講演方針（メモ：公開）の中で、次のように述べた：　ゼロ除算の本質的な解明とは、Aristotélēs　の世界観、universe　は連続である　を否定して、　強力な不連続性を　universe　の自然な現象として受け入れられることである。数学では、その強力な不連続性を自然なものとして説明され、解明されること　が求められる。

そこで、上記、突然湧いた考え、内容は、ゼロ除算の理解を格段に進められると直観した。

半径１の原点に中心を持つ、円Cを考える。いま、簡単のために、正のｘ軸方向の直線を考える。　その時、　点ｘ　（０＜ｘ＜１）の円Cに関する　鏡像　は　y = 1/x に映る。この対応を考えよう。ｘが　どんどん　小さくゼロに近づけば、対応する鏡像　ｙは　どんどん大きくなって行くことが分かる。そこで、古典的な複素解析学では、x =0　に対応する鏡像として、極限の点が存在するものとして、無限遠点を考え、　原点の鏡像として　無限遠点を対応させている。　この意味で 1/0 = ∞、と表わされている。　この極限で捉える方法は解析学における基本的な考え方で、アーベルやオイラーもそのように考え、そのような記号を用いていたという。

しかしながら、このような極限の考え方は、適切ではないのではないだろうか。正の無限、どこまで行っても切りはなく、無限遠点など実在しているとは言えないのではないだろうか。これは、原点に対応する鏡像は　ｘ＞１に存在しないことを示している。ところが、ゼロ除算は　1/0=0　であるから、ゼロの鏡像はゼロであると述べていることになる。実際、鏡像として、原点の鏡像は原点で、我々の世界で、そのように考えるのが妥当であると考えられよう。これは、ゼロ除算の強力な不連続性を幾何学的に実証していると考えられる。

ゼロ以上の数の世界で、ゼロに対応する鏡像y=1/xは存在しないので、仕方なく、神はゼロにゼロを対応させたという、神の意思が感じられるが、それが　この世界における実態と合っているということを示しているのではないだろうか。

この説は、伝統ある複素解析学の考えから、鏡像と無限遠点の概念を変える歴史的な大きな意味を有するものと考える。

以　上

№1277

Dividing by Nothing　by Alberto Martinez

Title page of Leonhard Euler, Vollständige Anleitung zur Algebra, Vol. 1 (edition of 1771, first published in 1770), and p. 34 from Article 83, where Euler explains why a number divided by zero gives infinity.

https://notevenpast.org/dividing-nothing/　　より

The Road

Fig 5.2. Isaac Newton (1643-1727) and Gottfried Leibniz (1646-1716) were the culprits, ignoring the first commandment of mathematics not to divide by zero. But they hit gold, because what they mined in the process was the ideal circle.

http://thethirty-ninesteps.com/page_5-the_road.php　より

mercredi, juillet 06, 2011
0/0, la célèbre formule d'Evariste Galois !

http://divisionparzero.blogspot.jp/2011/07/00-la-celebre-formule-devariste-galois.html　　より

無限に関する様々な数学的概念：無限大：記号∞ （アーベルなどはこれを 1 / 0 のように表記していた）で表す。大雑把に言えば、いかなる数よりも大きいさまを表すものであるが、より明確な意味付けは文脈により様々である。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90　より

リーマン球面：無限遠点が、実は　原点と通じていた。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%B3%E7%90%83%E9%9D%A2　より

http://jestingstock.com/indian-mathematician-brahmagupta-image.html　より

ブラーマグプタ（Brahmagupta、598年 – 668年?）はインドの数学者・天文学者。ブラマグプタとも呼ばれる。その著作は、イスラーム世界やヨーロッパにインド数学や天文学を伝える役割を果たした。
628年に、総合的な数理天文書『ブラーマ・スプタ・シッダーンタ』（ब्राह्मस्फुटसिद्धान्त Brāhmasphuṭasiddhānta）を著した。この中の数章で数学が扱われており、第12章はガニタ（算術）、第18章はクッタカ（代数）にあてられている。クッタカという語は、もとは「粉々に砕く」という意味だったが、のちに係数の値を小さくしてゆく逐次過程の方法を意味するようになり、代数の中で不定解析を表すようになった。この書では、 0 と負の数にも触れていて、その算法は現代の考え方に近い（ただし 0 ÷ 0 ＝ 0 と定義している点は現代と異なっている）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%82%B0%E3%83%97%E3%82%BFより

ブラーマ・スプタ・シッダーンタ (Brahmasphutasiddhanta) は、7世紀のインドの数学者・天文学者であるブラーマグプタの628年の著作である。表題は宇宙の始まりという意味。
数としての「0（ゼロ）の概念」がはっきりと書かれた、現存する最古の書物として有名である。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%83%9E%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%97%E3%82%BF%E3%83%BB%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%80%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%BF　より

ゼロ除算の歴史：ゼロ除算はゼロで割ることを考えるであるが、アリストテレス以来問題とされ、ゼロの記録がインドで初めて６２８年になされているが、既にそのとき、正解1/0が期待されていたと言う。しかし、理論づけられず、その後１３００年を超えて、不可能である、あるいは無限、無限大、無限遠点とされてきたものである。

An Early Reference to Division by Zero C. B. Boyer
http://www.fen.bilkent.edu.tr/~franz/M300/zero.pdf

Impact of ‘Division by Zero’ in Einstein’s Static Universe and Newton’s Equations in Classical Mechanics：http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/2084　より

神秘的に美しい3つの公式：

面白い事にゼロ除算については、いろいろな説が現在存在します
しかし、間もなく決着がつくのではないでしょうか。

ゼロ除算は、なにもかも当たり前ではないでしょうか。

ラース・ヴァレリアン・アールフォルス（Lars Valerian Ahlfors、1907年4月18日-1996年10月11日）はフィンランドの数学者。リーマン面の研究と複素解析の教科書を書いたことで知られる。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%B4%E3%82%A1%E3%83%AC%E3%83%AA%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%AB%E3%82%B9
フィールズ賞第一号

COMPLEX ANALYSIS, 3E (International Series in Pure and Applied Mathematics) (英語) ハードカバー – 1979/1/1
Lars Ahlfors (著)
http://www.amazon.co.jp/COMPLEX-ANALYSIS-International-Applied-Mathematics/dp/0070006571/ref=sr_1_fkmr1_1?ie=UTF8&qid=1463478645&sr=8-1-fkmr1&keywords=Lars+Valerian+Ahlfors%E3%80%80%E3%80%80COMPLEX+ANALYSIS

原点の円に関する鏡像は、実は　原点であった。
本では、無限遠点と考えられていました。

Ramanujan says that answer for 0/0 is infinity. But I'm not sure it's ...
https://www.quora.com/Ramanujan-says-that-answer-for-0-0-is-infi...

You can see from the other answers, that from the concept of limits, 0/0 can approach any value, even infinity. ... So, let me take a system where division by zero is actually defined, that is, you can multiply or divide both sides of an equation by ...

https://www.quora.com/Ramanujan-says-that-answer-for-0-0-is-infinity-But-Im-not-sure-its-correct-Can-anyone-help-me

Abel　Memorial in Gjerstad

Discussions: Early History of Division by Zero
H. G. Romig
The American Mathematical Monthly
Vol. 31, No. 8 (Oct., 1924), pp. 387-389
Published by: Mathematical Association of America
DOI: 10.2307/2298825
Stable URL: http://www.jstor.org/stable/2298825
Page Count: 3

ロピタルの定理 (ロピタルのていり、英: l'Hôpital's rule) とは、微分積分学において不定形 (en) の極限を微分を用いて求めるための定理である。綴りl'Hôpital / l'Hospital、カタカナ表記ロピタル / ホスピタルの揺れについてはギヨーム・ド・ロピタルの項を参照。ベルヌーイの定理 (英語: Bernoulli's rule) と呼ばれることもある。本定理を (しばしば複数回) 適用することにより、不定形の式を非不定形の式に変換し、その極限値を容易に求めることができる可能性がある。https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%94%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

Ein aufleuchtender Blitz: Niels Henrik Abel und seine Zeit
https://books.google.co.jp/books?isbn=3642558402 -

Arild Stubhaug - 2013 - ‎Mathematics

Niels Henrik Abel und seine Zeit Arild Stubhaug. Abb. 19 a–c. a. ... Eine Kurve, die Abel studierte und dabei herausfand, wie sich der Umfang inn gleich große Teile aufteilen lässt. ... Beim Integralzeichen statt der liegenden ∞ den Bruch 1/0.

https://books.google.co.jp/books?id=wTP1BQAAQBAJ&pg=PA282&lpg=PA282&dq=Niels+Henrik+Abel%E3%80%80%E3%80%80ARILD+Stubhaug%E3%80%80%E3%80%80%EF%BC%91/0%EF%BC%9D%E2%88%9E&source=bl&ots=wUaYL6x6lK&sig=OX1Yk_HxbCMm_FACotHYlgrbfsg&hl=ja&sa=X&ved=0ahUKEwj8-pftm-PPAhXIzVQKHX7ZCMEQ6AEISTAG#v=onepage&q=Niels%20Henrik%20Abel%E3%80%80%E3%80%80ARILD%20Stubhaug%E3%80%80%E3%80%80%EF%BC%91%2F0%EF%BC%9D%E2%88%9E&f=false

Indeterminate: the hidden power of 0 divided by 0
2016/12/02 に公開
You've all been indoctrinated into accepting that you cannot divide by zero. Find out about the beautiful mathematics that results when you do it anyway in calculus. Featuring some of the most notorious "forbidden" expressions like 0/0 and 1^∞ as well as Apple's Siri and Sir Isaac Newton.

https://www.youtube.com/watch?v=oc0M1o8tuPo　より

ゼロ除算の論文：

file:///C:/Users/saito%20saburo/Downloads/P1-Division.pdf　より

Eulerのゼロ除算に関する想い：
file:///C:/Users/saito%20saburo/Downloads/Y_1770_Euler_Elements%20of%20algebra%20traslated%201840%20l%20p%2059%20(1).pdf　より

An Approach to Overcome Division by Zero in the Interval Gauss Algorithm
http://link.springer.com/article/10.1023/A:1015565313636

Carolus Fridericus Gauss：https://www.slideshare.net/fgz08/gauss-elimination-4686597

Archimedes：Arbelos
https://www.math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Stamps/stamps.html　より

Archimedes Principle in Completely Submerged Balloons: Revisited
Ajay Sharma：

file:///C:/Users/saito%20saburo/Desktop/research_papers_mechanics___electrodynamics_science_journal_3499.pdf

［PDF]Indeterminate Form in the Equations of Archimedes, Newton and Einstein
http://gsjournal.net/Science-Journals/Research%20Papers-Relativity%20Theory/Download/3222
このページを訳す
0. 0 . The reason is that in the case of Archimedes principle, equations became feasible in. 1935 after enunciation of the principle in 1685, when ... Although division by zero is not permitted, yet it smoothly follows from equations based upon.

Thinking ahead of Archimedes, Newton and Einstein - The General ...
gsjournal.net/Science-Journals/Communications.../5503
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old Archimedes Principle, Newton' s law, Einstein 's mass energy equation. E=mc2 . .... filled in balloon becomes INDETERMINATE (0/0). It is not justified. If the generalized form Archimedes principle is used then we get exact volume V .....

http://gsjournal.net/Science-Journals/Communications-Mechanics%20/%20Electrodynamics/Download/5503

Find circles that are tangent to three given circles (Apollonius’ Problem) in C#

http://csharphelper.com/blog/2016/09/find-circles-that-are-tangent-to-three-given-circles-apollonius-problem-in-c/　より

ゼロ除算に関する詩：

The reason we cannot devide by zero is simply axiomatic as Plato pointed out.

http://mathhelpforum.com/algebra/223130-dividing-zero.html　より

Division by Zero Calculus—History and Development Paperback – November 29, 2021

SRP:
https://www.scirp.org/book/detailedinforofabook.aspx?bookid=2808

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