算数・数学②＊⑩＊⑩＋③＊⑩＋⑥

三角形 ABC に対し、辺 AB 上に点 P を、辺 BC 上に点 Q を、辺 CA 上に点 R を、頂点とは異なるようにとる。この３点がそれぞれの辺上を動くとき、この３点を頂点とする三角形の重心はどのような範囲を動くか図示せよ。

（答えは↓）

答え：

下図の網目部分 ( 周上は除く )

線分 P,  Q の中点を M とすると、重心 G は線分 MR を 1：2 に内分する点であるから、ある M に対する △MAC の辺 AC 上を R が動けば、G は 辺 MA,  MC をそれぞれ 1：2 に内分する点同士を結んだ線分( 辺 AC に平行で長さは 1/3・AC )の上を動く。

ところで辺 AB,  BC,  CA の中点を c,  a,  b とすると、M の存在する範囲は平行四辺形 Babc の内部( 周上は除く )となるから、Babc の辺に沿って M を動かせば、G の動く線分は辺 AC と平行を保ちながら辺 AB,  BC に平行な方向へと移動していき、その通過する領域は △ABC の各辺をそれぞれ３等分する点を頂点にもつ平行六辺形の内部( 周上は除く )となる。