Drive & Dive

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~We want ...~

下図において、AB = AC,  BC = 1 = AD,  ∠BAC = 180°/7 のとき、CD の長さを求めよ。



(答えは↓)































答え: CD = √2

下図を用いて考える。



[ 1 ] において、CD = x とすると

x2 = CE2 + DE2
= (AC2 − EA2) + DE2
= { a2 − (a − 1/2a)2 } + (a − 1/2a − 1)2
= a2 − 2a + 1/a + 1・・・①

[ 2 ] において、△BCF は △ABC と相似な図形によって敷き詰めることができるから、BC の長さについて無限等比級数を考えれば

BC = 1 = BG + GH + ・・・
= 1/a + 1/a + 1/a3 + 1/a5 + 1/a7 + ・・・

より

1 − 1/a2
= lim r→∞ (2/a − 1/a3 − 1/a2r+3)
= 2/a − 1/a3 (∵ a > 1)

∴ a3 − a = 2a2 − 1
⇔ 1 = a + 2a2 − a3
⇔ 1/a = 1 + 2a − a2・・・②

よって ①,  ② より

x2 = a2 − 2a + (1 + 2a − a2) + 1 = 2

∴ x > 0 より x = √2