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35x + 91y + 65z = 3 を満たす整数の組 (x,  y,  z) の中で x2 + y2 の値が最小となるもの、およびその最小値を求めよ。

 
 
(答えは↓)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
答え:
(x,  y,  z) = (− 4,  − 2,  5)
最小値 20
 
 
35 = 57,  91 = 713,  65 = 135 であることに着目して
 
35x + 91y + 65z = 3
7(5x + 13y) + 513z = 3・・・①
 
ここで 7(− 1) + 52 = 3 だから、①と両辺同士の差をとると
 
7(5x + 13y + 1) + 5(13z − 2) = 0
7(5x + 13y + 1) = 5(2 − 13z)
 
5 と 7 は互いに素であるから
 
2 − 13z = 7a
⇔ 13z + 7a = 2・・・②
5x + 13y + 1 = 5a・・・③
 
とおける。またここで、135 + 7(− 9) = 2 だから、②と両辺同士の差をとると
 
13(z − 5) + 7(a + 9) = 0
7(a + 9) = 13(5 − z)
 
7 と 13 は互いに素であるから
 
a + 9 = 13b
⇔ a = 13b − 9・・・④
5 − z = 7b
⇔ z = 5 − 7b・・・⑤
 
とおける。③, ④を連立すると
 
5x + 13y + 1 = 5(13b − 9)
5(x + 9) + 13(y − 5b) = − 1・・・⑥
 
またここで、55 + 13(− 2) = − 1 だから、⑥と両辺同士の差をとると
 
5(x + 4) + 13(y − 5b + 2) = 0
5(x + 4) = 13(5b − y − 2)
 
5 と 13 は互いに素であるから
 
x + 4 = 13c・・・⑦
5b − y − 2 = 5c・・・⑧
 
とおける。よって⑤, ⑦, ⑧より
 
x = 13c − 4
y = 5(b − c) − 2
z = 5 − 7b
 
c = 0 のとき | x | は | − 4 | で最小となり、また b − c = 0 ⇔ b = c = 0 のとき | y | は | − 2 | で最小となるから、x2 + y2 の最小値は
 
x2 + y2 = (− 4)2 + (− 2)2
= 20

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