AB < AC なる鋭角 3 角形 ABC があり、その外心を O, ∠BAC の 2 等分線と辺 BC の交点を D とする。半直線 DO 上に相異なる 2 点 P, Q をとると、これらはいずれも直線 AC に関して B と反対側かつ直線 AB に関して C と同じ側にあり、3 点 D, P, Q はこの順に並んだ。また、AB = BP, AC = CQ および ∠ABP = ∠ACQ が成り立った。このとき、∠BAC の大きさを求めよ。ただし、XY で線分 XY の長さを表すものとする。
（答えは↓）
答え： 60°
直線 CQ と △ABC の外接円の交点のうち、C でない方を R とすると
∠ACR = ∠ABR
だから、点 P は直線 BR 上にある。また、直線 AD と外接円の交点のうち、A でない方を S とすると、∠BAS = ∠CAS より
∠BCS = ∠BAS = ∠CAS = ∠CBS・・・①
となる。ここで、AB = BP, AC = CQ および ∠ABP = ∠ACQ だから
△ABP ∽ △ACQ
∴ ∠APB = ∠AQC
よって、4 角形 APRQ は円に内接する。また
AB : AP = AC : AQ,
∠BAC = ∠BRC = ∠PAQ
だから
△ABC ∽ △APQ
これより、∠ACD = ∠AQD となるから、4 点 A, D, C, Q は同一円周上にある。よって
∠CAD = ∠CQD
であり、また
∠BSC = ∠PRQ
だから
△BCS ∽ △PQR
∴ ∠PQR = ∠QPR = ∠QAR ( ∵ ① より)
また
∠CAQ = ∠CQA,
∠CAQ = ∠CAR + ∠QAR,
∠CQA = ∠CQP + ∠AQP,
∠QAR = ∠CQP
だから
∠CAR = ∠AQP
= ∠ACB
となり、錯角が等しいから AR // BC である。よって
∠ARB = ∠RBC
となり、また ∠ACB = ∠ARB だから
∠ACB = ∠RBC
である。ところで
∠ADQ = ∠ACR
であり、また直線 AR と直線 PQ の交点を T とすると
∠DAT = ∠CAS + ∠CAR
= ∠QAR + ∠AQP
= ∠DTA
となるから、△DAT は 2 等辺 3 角形であり、∠ADT の 2 等分線 L は直線 AR と垂直に交わる。よって AR // BC より、点 O から直線 BC に下ろした垂線 M と平行である。① より、M は点 S を通るから
∠SOD = 1/2・∠ADT
= 1/2・∠ACR・・・②
さらに、∠AOS = 2・∠ACS だから
∠OSD = ( 180° − ∠AOS )/2
= 90° − ∠ACS・・・③
ここで
∠BAS = ∠CAS = α,
∠ABR = β,
∠ACB = ∠RBC = γ
とすると、△ABC の内角の和について
2α + β + 2γ = 180°・・・④
が成り立つ。∠ACR = ∠ABR = β だから、② より
∠SOD = β/2
であり、また ∠ACS = α + γ だから、③, ④ より
∠OSD = 90° − (α + γ)
= 180°/2 − (α + γ)
= (α + β/2 + γ) − (α + γ)
= β/2
∴ ∠SOD = ∠OSD
よって、△DOS は 2 等辺 3 角形であり、直線 BC は線分 OS の垂直 2 等分線になっているから、その交点を U とすれば、△OBU は
OB : OU = 2 : 1
の直角 3 角形であり、∠BOU = 60° すなわち ∠BOC = 120° となるから
∠BAC = 1/2・∠BOC
= 60°