平面上に 1 辺の長さが 2 の正 4 面体 ABCD が置いてあり、この正 4 面体を BC を回転軸として回転移動させた。移動後の点 A, D をそれぞれ A', D' とするとき、平面 A'BC と平面 BCD が直交した(ただし、A と A' は平面 BCD に関して同じ側にある)。正 4 面体 ABCD と正 4 面体 A'BCD' の共通部分の体積を求めよ。
（答えは↓）
答え： 4 − 12√2/5
線分 BC の中点を M とすると、平面 AMD の断面図は上図のようになる(直線 A'D' と平面 ABC, 線分 AD, 直線 MD との交点をそれぞれ E, F, G とし、また点 A' を通り直線 MD と平行な直線と直線 MA との交点を H, 点 A, E から平面 BCD に下ろした垂線の足をそれぞれ点 I, J とした)。
AM = √3,
MI = √3/3
だから
AI = 2√6/3・・・①
また △AMI ∽ △MHA' ( AM : MI : AI = 3 : 1 : 2√2 ) だから
HA' = MA'・1/2√2
= √3/2√2
= √6/4・・・②
ここで点 D' から平面 BCD に下ろした垂線の足を点 K とすると、△AMI ≡ △MD'K となるから
D'K = MD'/3 = MA'/3
∴ GK : MK = 1 : 2,
MG = 3/2・MK
= 3/2・AI
= 3/2・2√6/3 ( ∵ ① より )
= √6・・・③
よって ②, ③ より、相似な図形である △A'EH, △GEM に着目して
HE : ME = HA' : MG
= √6/4 : √6
= 1 : 4
だから
EJ = 4/5・MA'
= 4√3/5・・・④
よって ④ より
ME = 3/2√2・EJ
= 3/2√2・4√3/5
= 3√6/5・・・⑤
BC = 2 だから、⑤ より
△EBC = 2・3√6/5・1/2
= 3√6/5・・・⑥
ここで対称性を考えると、直線 MF は ∠A'MG = 90° の 2 等分線である。点 F から線分 MA' に下ろした垂線の足を点 L とすると、∠FML = 45° より
FL = ML
となるから、FL = x とすれば、△A'FL ∽ △A'GM ( MA' : MG = 1 : √2 ) より
√2・( √3 − x ) = x,
x = 2√3 − √6・・・⑦
よって ①, ⑦ より
AI − ML
= 2√6/3 − ( 2√3 − √6 )
= 5√6/3 − 2√3
点 F から平面 ABC に下ろした垂線の足を点 P とすれば、線分 FP の長さは AI − ML に等しいから
FP = 5√6/3 − 2√3・・・⑧
したがって、対称性を考えれば、共通部分とは 3 角錐 F-EBC を 2 つ合わせた立体だから、求める体積は ⑥, ⑧ より
△EBC・FP・1/3・2
= 3√6/5・( 5√6/3 − 2√3 )・2/3
= 4 − 12√2/5