四面体O-ABCの6辺の長さから体積を求めます。
前回で体積の2乗の576倍である16Ay₂²z²が
-4A(BR+CQ)
+4A(BQ+CR)
+4{BC(Q+R)+QR(B+C)-BQ(B+Q)-CR(C+R)}
+4AP(B+C+Q+R)
-4A²P-4AP²
-4P(B-R)(C-Q)
と求まりました。
今回はこの式を簡単な形にしていきます。
まず、文字の設定を確認しておきます。
◯6辺の長さを、
・OA=a、・OB=b、・OC=c
・AB=r、・BC=p、・CA=q
とします。
・Oを含む辺は他方の点の文字(a,b,c)
・Oを含まない辺はA,B,C→p,q,rとし、辺に含まれない文字(p,q,r)
です。
◯各辺の長さの2乗は辺の文字の大文字で表記します。
・A=a²、・B=b²、・C=c²
・R=r²、・P=p²、・Q=q²
・途中からは辺の長さの2乗しか使いません
◯ある1辺は、他の5辺のうち、
・辺の両端で2辺ずつ、4辺と接します。
・残りの1辺とは接していません。
◯向かい合っている辺の組は3組あり、
aとp、bとq、cとrです。
◯4頂点を座標空間に
O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)
と置きます。
◯体積は(1/6)×a×y₂×zです。
◯前回求めた式は、
16Ay₂²z²
=-4A(BR+CQ)
+4A(BQ+CR)
+4{BC(Q+R)+QR(B+C)-BQ(B+Q)-CR(C+R)}
+4AP(B+C+Q+R)
-4A²P-4AP²
-4P(B-R)(C-Q)
です。
◯両辺を4で割ると、
左辺は4Ay₂²z²となり、
体積の2乗の144倍です。
4Ay₂²z²
=-A(BR+CQ)
+A(BQ+CR)
+BC(Q+R)+QR(B+C)-BQ(B+Q)-CR(C+R)
+AP(B+C+Q+R)
-A²P-AP²
-P(B-R)(C-Q)
◯全て展開します。
4Ay₂²z²
=ABQ+ACR-ABR-ACQ
+BCQ+BCR+BQR+CQR-B²Q-BQ²-C²R-CR²
+ABP+ACP+APQ+APR
-A²P-AP²
-BCP+BPQ+CPR-PQR
◯プラスとマイナスで分けます
4Ay₂²z²
=ABQ+ACR
+BCQ+BCR+BQR+CQR
+ABP+ACP+APQ+APR
+BPQ+CPR
-A²P-AP²
-BCP-PQR
-ABR-ACQ-B²Q-BQ²-C²R-CR²
◯プラスの項は、
・向かい合う2辺と他1辺
◯マイナスの項は、
・向かい合う2辺(片方が2乗)
・三角形を成す3辺
の積です。よって、
4Ay₂²z² (体積の2乗の144倍)
=AP{B+C+Q+R-(A+P)}
+BQ{A+C+P+R-(B+Q)}
+CR{A+B+P+Q-(C+R)}
-(ABR+ACQ+BCP+PQR)
と求まりました。
意外なことに頂点に集まる3辺の積の項は登場しませんでした。