四面体O-ABCの6辺の長さから体積を求めます。
前回で体積の2乗の576A倍である16A²y₂²z²が
A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B+R)²+(C+Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
+(B+R)²(C+Q)²
-4A²(BR+CQ)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
と求まりました。
今回はこの式を簡単な形にしていきます。
まず、文字の設定を確認しておきます。
◯6辺の長さを、
・OA=a、・OB=b、・OC=c
・AB=r、・BC=p、・CA=q
とします。
・Oを含む辺は他方の点の文字(a,b,c)
・Oを含まない辺はA,B,C→p,q,rとし、辺に含まれない文字(p,q,r)
です。
◯各辺の長さの2乗は辺の文字の大文字で表記します。
・A=a²、・B=b²、・C=c²
・R=r²、・P=p²、・Q=q²
・途中からは辺の長さの2乗しか使いません
◯ある1辺は、他の5辺のうち、
・辺の両端で2辺ずつ、4辺と接します。
・残りの1辺とは接していません。
◯向かい合っている辺の組は3組あり、
aとp、bとq、cとrです。
◯4頂点を座標空間に
O(0,0,0)、A(a,0,0)、B(x₂,y₂,0)、C(x₃,y₃,z)
と置きます。
◯体積は(1/6)×a×y₂×zです。
◯前回求めた式は、
16A²y₂²z²
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B+R)²+(C+Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
+(B+R)²(C+Q)²
-4A²(BR+CQ)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
です。
◯左辺は16A²y₂²z²であり、
体積の2乗の576A倍です。
Aは変形していくと右辺のAを含まない項が消えるので、
全体をAで割る事ができます。
◯A²の項を一部展開すると、
16A²y₂²z²
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B²+2BR+R²)+(C²+2CQ+Q²)
+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
+(B+R)²(C+Q)²
-4A²(BR+CQ)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
◯2A²(BR+CQ)を相殺すると、
16A²y₂²z²
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B²-2BR+R²)+(C²-2CQ+Q²)+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
+(B+R)²(C+Q)²
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B-R)²+(C-Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
+(B+R)²(C+Q)²
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²-(B-R)²(C-Q)²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
◯Aを含まない項を纏めると、
16A²y₂²z²
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B-R)²+(C-Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
+(B+R)²(C+Q)²-(B-R)²(C-Q)²
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B-R)²+(C-Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
+4(BC+QR)(BQ+CR)
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
=A⁴-2A³(B+C+Q+R)
+A²{(B-R)²+(C-Q)²+4(B+R)(C+Q)}
+2A(B+R)(C+Q)(B+C+Q+R)
-4A{BC(B+C)+BQ(B+Q)+CR(C+R)+QR(Q+R)}
+4(B²CQ+BC²R+BQ²R+CQR²)
-4(BC²R+BQ²R+B²CQ+CQR²)
-A²{B+C+Q+R-(A+2P)}²
+2A(B-R)(C-Q){B+C+Q+R-(A+2P)}
字数制限のため次回に続く