sunのおばあちゃんは青森県出身でしたが、味噌汁
のことを「おつけ」と言っていました。「おみおつけ」は東日本で多く使われているようです。
「おみおつけ」の語源は、室町時代初期に宮中に仕える女官たちの間で
上品な言葉遣いとして使われ始めた「女房言葉」だとされています。
「女房言葉」には例えば、「玉杓子はおたま」、「こわめしはおこわ」
その他にも「おかき」、「お冷」、「おはぎ」などがあります。
その中で、味噌の「おみい」とご飯の脇につける吸い物の「おつけ」が合わさって
「おみおつけ」と言われるようになったとのことです。
ちなみに漢字で書くと「御御御付け」となります。