数学者が思案する「入試の角度について」平間達也

私のスタイルは点を伝えることと定義しているのだが、今回もそのようなことを1つ。

中学受験、高校受験においてしばしば重要視される問題が図形問題である。

時に、ああそんな解法が、と目から鱗の問題も結構ある。

そして、どうやったらそんな解法思いつけるようになるのかという疑問も受験生の中で生まれることだろう。

はっきり言えるのは、経験の数に他ならない。

問題を数多くこなしていく中で、ここに補助線を引けばとか、線を延長してとか、この点とこの点をつなげてなどなんとなく思いつけるようになるだろう。

ただ、これでおしまいにしてはただの一般論になってしまうので、1つだけもしかしたら何かの突破口になるかならないかな話をしてみよう。

時に、問題中に角度を与えられることがある。

角Aは何度で角Bが何度で、という風に。

与えられたからには何かに使うわけだが、この角度をどうに使うか見当がつかないこともあるだろう。

しかし、与えられたからには何かに使うはずだ。

普通、学校で習う角度は30º、45º、60º、90º、180º、360ºくらいだが、問題を解いていくにはそれでは不十分かもしれない。

ここでは、問題に出題されそうな角度を思いつくだけ列挙してみよう。

15º(45º－30º)
108º(正五角形の1つの角度)
72º(180º－108º)
54º(108º÷2)
75º(30º＋45º)
105º(60º＋45ºもしくは180º－75º)
126º(180º－54º)
168º(108º＋60º)
138º(108º＋30º)
84º(168º÷2)
42º(84º÷2もしくは180º－138º)
21º(42º÷2)
69º(138º÷2)
36º(72º÷2)
144º(72º×2)
12º(180º－168º)
etc.

ここまででいえることは正五角形を絡めると角度に幅が出来るということだ。

確かに三角形の問題で意味もなく37ºとか与えられることもあるが、良問難問になるとその数値に意味のある場合も多い。

その中で正五角形に関する角度は出題者にとっても解答者にとっても「おいしい」ことが多い。

では正六角形、正七角形、正八角形、……はどうなのかというと、正六角形の内角の和は720º。

6で割ると120ºであまり広がりはない。
三角形の延長に過ぎない。

正七角形は和が900ºで、7で割ると割り切れないので、出題がしづらい。

正八角形は和が1080ºで、8で割ると135ºとなり、90ºと45ºを足した数であるため、あまり奥行き感が見込めない。

正九角形では1260ºの140ºだが、ここまでくると問題自体作りづらくなる。

だからこその正五角形なのだ。

なので暇なときにでも、正五角形から派生する色々な角度を日頃から頭の中で足したり引いたりして、遊んだりしているとひらめく時間が早まる、かもしれない。

……保証はしない。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「様々な数4～不思議数～」平間達也

今回は不思議数です。

こちらも完全数に関連する数です。

前回までで、完全数、不足数、過剰数、擬似完全数について見てきました。

今回触れる不思議数とは、過剰数であり擬似完全数でない自然数のことをいいます。

つまり、自身以外の正の約数の和が自身より大きくなるけど、どの約数の組み合わせの和をとっても自身と一致しない数のことです。

うーん、数に弱い人は頭がこんがらがりそうですね。

だから不思議数と言うのでしょうか。

擬似完全数に比べると、不思議数は見つけにくいと思います。

2桁の不思議数はなんと1個しか存在しません。

その数は70です。

一応自身以外の約数を全て書き出すと、1、2、5、7、10、14、35です。

過剰数にはなるけれど、どんな部分和をとっても70にはならないことがやってみるとわかると思われます。

不思議数を小さい方から10個ほど順に述べると、70、836、4030、5830、7192、7912、9272、10430、10570、10792であり、擬似完全数と比べると手計算では見つけにくいことがわかるかと思います。

未解決問題としては、奇数の不思議数は存在するかどうかがはっきりしていません。

ですが、存在するならば2の32乗、つまり4294967296より大きな数になることがわかっているようです。

本当に不思議な数ですね。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が思う「プラス×プラス以外は何処かにマイナスが」平間達也

プラス×プラス以外はマイナス要因が含まれる。

何を当たり前な。

あなたの日々の暮らしの中でネガティブな事しか言わない人はいないだろうか。

人間が二人以上いるならば、そこには関係が生まれる。

そこでネガティブな事を投げ掛けられた時、あなたは肯定するか否定するかを選ぶだろう。

肯定するならば、ネガティブな事象を受け入れたことになる。

反対に否定をすれば、その事象に対してポジティブであることを主張出来るのだが、その人間と接し続ける限りネガティブに否定をかけていくという否定の習慣が自身に刻みつけられていくのだ。

加えて、乗法だけが人間の関係性ではない。

加法、つまり足し算の関わりもよくあるだろう。

ならばプラス＋プラス以外は0もしくはマイナスの因子が必ずついて回る。
 

人は感化されやすい生き物だ。

出来る限り、良い環境にいたいと願うばかりだ。

良い環境を作ることが自分を高めることに繋がるだろう。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が心に留めたい「逆・裏・対偶」平間達也

裏、逆、対偶。

あー、嫌だったなぁと思う人もいることでしょう。

何を隠そう、私もいやです。

いや、正確に言うと裏と逆がどっちがどっちだっけとなることが多いからなんですね。

対偶は楽なんです。否定してひっくり返せばいいんですから。

対偶は色んな証明問題に活用されています。
 

今回は逆、裏、対偶の軽いおさらいです。
 

まずは元となる命題を用意しましょう。

「A ⇒ B」

とします。

こんな記号で表すと途端に思考が停止する方もいると思いますので、イメージしやすいように次のものも用意しましょう。

「山田太郎君は3年4組だ」

これならイメージしやすいと思います。

上の記号だけのものとイメージのすり合わせをするためにもう少し詳しくいうと

「山田太郎君である(A)ならば(⇒)3年4組に所属している(B)」

これならさらにわかりやすいかと思います。

とりあえず、後々のためにクラスには30人程度の生徒がいるものとします。

それではこの命題をいじっていきましょう。

まずはこの命題の「逆」を見ましょう。

「逆」とは⇒の向きをその名の通り、逆にする事です。

つまり、

「B ⇒ A」

となります。

先ほどの例も逆にしてみましょう。

「3年4組に所属している(B)ならば(⇒)山田太郎君である(A)」

いや、他の生徒もいるだろうという声が聞こえてきそうですね。

クラスの人数が一人でない限り明らかにおかしいです。

ですが、そう感じた感覚が大切です。

元の命題が真(正しい)なら逆は偽(間違い)となるんです。

逆は必ずしも真ならず、と言ったりします。

ここが重要な箇所の一つですよ。
 

次に「裏」です。

「裏」とは元の命題のA、Bそれぞれを否定する事です。

つまり、

「 not A ⇒ not B」

です。

not AとはAの否定の事です。

（普通、数学の世界では上の画像の左下のように文字の上に線を引いて、Aの否定をAのバーということがあります。）

では例の裏を見てみましょう。

「山田太郎君でない(not A)ならば(⇒)3年4組に所属していない(not B)」

これも先ほどの逆と同じくおかしいですね。

山田君以外の人でも3年4組に所属している人はいるはずです。

裏も逆と同様に、元の命題が真(正しい)なら裏は偽(間違い)となります。
 

最後に「対偶」を見てみましょう。

「対偶」とは要するに「命題の裏をさらに逆にする」もしくは「逆をさらに裏にする」事です。

つまり

「Bでない ⇒ Aでない」

の事です。

では例も対偶にしてみましょう。

「3年4組に所属していない(not B)ならば(⇒)山田太郎君でない(not A)」

これは先ほどまでの二つとは違い、正しいですね。

少なくとも、3年4組の生徒でないなら山田太郎君ではないです。

元の命題が正しければその対偶も正しくなります。

命題と対偶の真偽は必ず一致します。

数学ではこれを対偶論法といい、しばしば証明で使われたりします。

ちなみに逆と裏にも対偶の関係が成り立つので、逆と裏の真偽も一致します。

命題のとり方で少々言うことが。

仮定と結論が完全に一致していると(集合論でいうと全単射のこと)逆も裏も真となってしまうことがあります。

先ほどの例でいうと、3年4組の生徒が山田太郎君一人しかいない状況のとき、逆も裏も正しくなってしまいます。

慣れない内は、仮定を固有名詞、結論を固有名詞のジャンル、程度にイメージして感覚を掴んでいって下さい。

例えば、広辞苑(固有名詞)は本(ジャンル)だ、みたいなイメージです。

以上、逆、裏、対偶のおさらいでした。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「企業の数字のトリックに騙されるな」平間達也

マクドナルドのハンバーガーは１秒間に平均75個売れている、という驚きの雑学を聞いたことはあるでしょうか。

すごい、さすがは世界のマクドナルドだ、と感心してしまうものですが、ちょっと待って。

もしかしてマクドナルドの戦略に乗せられてるだけではありませんか。

まず、世界にマクドナルドの店舗は何店舗程度あるのでしょうか。

答えは35000店舗程です。

次に秒で考えるのを止めて1時間で考えることにしましょう。

1時間は60分、1分は60秒ですので、1時間は3600秒です。

では、1時間にハンバーガーを平均何個売っているのかを考えると、3600×75＝270000なので、27万個売れている計算になります。

27万個だなんてやっぱりマックはすげえなあと感心してはいけません。

これは全店舗で1時間で売れた個数です。

この27万個を店舗数で割れば1店舗の1時間の平均売り上げ個数がわかります。

270000÷35000≒7.7

どうでしょうか。平均7.7個です。

あまりに普通の数値、なんなら少ないくらいですね。

私たちが見落としてしまったのは世界にどれだけマクドナルドが存在するかでした。

ちなみにアメリカの店舗数だけで計算しても(アメリカの店舗数約14000)、1時間の平均販売個数は約19個程度です。
 

企業は時に自らの力を大きく見せるために数字のトリックを用いることがあります。

私たちが養わなければならないのは、そのトリックに引っ掛からない本質を見抜く力です。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「様々な数3～擬似完全数～」平間達也

完全数に関連している数の二回目です。

今回は完全数っぽいものを紹介します。

その名も擬似完全数。

確かに完全数っぽさが名称にも滲み出てますね。

完全数は、自分自身以外の正の約数全ての和が自身と等しい数でした。

今回の擬似完全数は、自分自身以外の正の約数の一部の和が自身と等しい数です。

一部か全部かの違いですね。

何だか、いつかやっていたドラマの主題歌のようです。

擬似完全数の確認として18を例に見ていきましょう。

18の約数は、小さい方から1、2、3、6、9、18です。

この中から3、6、9を選び和をとると18となるので、18が擬似完全数だと確認出来ます。

100までの間に擬似完全数は23個存在します。

擬似完全数にはその定義から素数はなれず、全て合成数です。

また擬似完全数の倍数は全て擬似完全数だったりします。

このことから偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在することがわかりますね。

さあ、これらの性質を使って2桁の擬似完全数を列挙してみるのはどうでしょうか。

全部を一つ一つ確認する必要はないですから結構早く求められるのではないでしょうか。

出来たよ、という方は奇数で擬似完全数になる数を探してみましょう。

こちらはちょっと大変かもしれません。

答えは3桁の数です。

それではまた次回。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が妄想する「今とガンダムのような未来世界は繋がるのか」平間達也

私はガンダムが好きだ。

モビルスーツとよばれる巨大ロボット(大体18メートルくらい)が戦争をする様子はとてもワクワクする。

実物大の動くガンダムプロジェクトも数年前から進行中で期待も高まるが、私は未来にガンダムの世界観にはなりそうにないと考えている。

ちょっと考えればわかることだが、最近のAIの急速な発達や関連して車の自動運転、既に海外では工事現場の巨大な作業車は遠隔操作になっていたりする事をふまえて考えれば、どうだろうか。

これからの未来においてドンパチやる兵器にわざわざ乗り込んで戦う事は前時代的と捉えられるのではないだろうか。

現在の主要兵器である戦車や戦闘機についても自動運転、遠隔操縦の流れは来るのではないかと考えている。

しかし、米軍の関係者が語るに完全自動運転の乗り物は出来ないという意見もあるようだ。

理由は乱暴にまとめると、我々が数十年費やして出来なかったんだから出来るわけがないということらしい。

確かに個人で乗るくらいの車ならいざ知らず、精密機器の塊である軍用機を自動運転化させるのは困難であることは予想出来る。

また、遠隔操縦を採用したとしても肝心な場面で電波が届かなかったり敵対勢力が電波妨害もしくは割り込みなどで正しいモニターを受信出来ない事態も考えられそうだ。

となると軍事の性質上、自動運転、遠隔操縦の流れは訪れる見込みが薄そうだ。

残りは搭乗タイプの巨大人型ロボットが軍事あるいは一般向けに必要とされるかどうかにかかってくる。

うーん、好きだからこその未来の否定で話をしてみようと思ったが、適当に話を回していくだけでこんなにも二転三転してしまった。

ガンダムのような二足歩行ロボットを自家用車のように乗り回すような未来は夢物語だと諦観するのはまだ早いかもしれない？

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「様々な数2～不完全数～」平間達也

前回完全数について触れましたが、完全があれば不完全もあるわけで、今回は不完全数についてです。

それで不完全数にも種類があります。

完全数は自身以外の正の約数の和が自身と一致する数のことでしたね。

ということは不完全数は等しくない数というわけです。

まずは不完全数の1つ目、不足数です。

不足数は、自身以外の正の約数の和が自身より小さい数です。

その数の全ての約数の和が自身の2倍よりも小さいと言い換えることも出来ます。

例えば21。

21の約数は1、3、7、21なので、自身以外の正の約数の和は11です。

これは21よりも小さいので、不足数となります。

次に小さいがあれば大きいもあるわけで、過剰数です。

過剰数は自身以外の正の約数の和が自身よりも大きい数をいいます。

その数の全ての約数の和が自身の2倍の数よりも大きいと言い換えることも出来ます。
 

例えば12。

12の約数は1、2、3、4、6、12なので、自身以外の正の約数の和は16です。

これは12よりも大きいので、過剰数となります。
 

それでは不足数を小さい方から順に述べると

1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、13、14、15、16、17、19、……

です。

一方、過剰数は、

12、18、20、24、30、36、40、42、48、……

です。
 

不足数と過剰数についてのちょっとした性質をいくつか。

素数は全て不足数である。

ホントかよと思いますが、素数をpとすると必ず1＋p＜2pが成り立ちます。

わからない人はpに実際に2や3を代入して確認してみましょうね。

何個か入れていくと数が大きくなるに従って右辺と左辺の差も大きくなっていくのがわかります。

よって上の不等式から素数は不足数だといえますね。

素数は無数に存在しますので、不足数も同様に無数に存在することがわかります。
 

過剰数の性質では、過剰数もしくは完全数の倍数は全て過剰数になるということが明らかになっています。

このことから過剰数も無数に存在しますね。
 

そうなると、ちょっとした疑問が浮かびませんか。

不足数と過剰数はどっちが多いの？

これは過剰数が自然数の中に存在する割合が0.2474から0.2480の間であることが証明されています。

なので不足数のほうが数が多いとわかりますね。

以上、不足数と過剰数についてでした。

完全数にまつわる数はまだまだあります。続きはまた今度に。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「古い諺を超えていけ1」平間達也

二兎追う者は一兎も得ずという諺がある。

端的に言えば、欲張ると何も手に入れられないという教えだ。

確かに一理あるありがたい教訓であるが、こと急速に発展する現代においてこの古い諺だけを信じていて良い物だろうか。

二つのものを得たいのならば二つ得ても良いはずだ。

一個で我慢する必要はない。

ここで大事なのは、バラバラに逃げる兎を走って素手で捕まえようとしていることだ。

そして、右往左往して両方に逃げられるという顛末だ。

狩りで獲物のウサギなのか、ペットのウサギなのかは知る由もないがどちらにせよ、その人に言いたい。

ムリだよぉ。

つまり何が言いたいか。

槍にしろ弓矢にしろ、狩りなら用意しろと、殺さずに捕まえたいのなら網や何かしらのものを設置しておけと言いたい。

現状の準備で無理ならば色々と思考して目の前の壁を乗り越えなければならない。

それは技術かもしれないし、知恵かもしれない。

人かもしれないし、金かもしれない。

ひたすらに思考し続けるべきだ。

そして、方法が見つかったら実行する。

その時に数学は有効な武器となる。

数字が絡まない問題においても建設的に論理を組み立てる数学的思考はあなたの力になるだろう。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也

数学者が伝えたい「様々な数1～完全数～」平間達也

〇〇数、高校までの間でこのようなものは素数と合成数くらいしか勉強しません。

それは何故かというと大学入試での証明問題に素数はそれなりに出てくるから。

そして、合成数は素数以外の数をなんというかということで、素数とセットで勉強します。

ですが、それ以外にも興味深い数は存在するものです。

皆さんもおぼろげに1、4、9、16、25、……と数えてみたことはないでしょうか。

そんなある性質を持つ様々な数を紹介していくシリーズです。

一回目は完全数です。

小説「博士の愛した数式」でも取り上げられている数の1つです。

完全数は自身を除いた正の約数の和に等しい数のことです。
何のこっちゃと思いますが、一つずつ見ていくことにしましょう。

まず、最小の完全数は6です。

6の約数は1、2、3、6です。

6以外の約数を全て足すと

1＋2＋3＝6

であり、6自身と等しいことがわかります。

6の次の完全数はいくつでしょうか。

二桁の整数の内、一つだけ完全数となる整数があります。

自分で探してみると良いでしょう。

3つめの完全数は496です。

確認は各自で行うと良いかもしれません。

まずは素因数分解からやってみてください。

完全数の性質や新たな完全数などを古くはピタゴラスやユークリッド、さらにはオイラー、メルセンヌ、リュカなど数々の有名な数学者が発見しています。

現在、完全数は50個見つかっています。

その内45個までは順番も明らかになっていますが、それ以降はまだその間に完全数が存在するかどうかが明らかになっていません。

また、これまで発見された完全数はどれも偶数ですが、奇数の完全数が存在するかどうかの証明も成されておらず、そもそも完全数は有限個しかないのか、それとも無限に存在するのかも未だ議論の途中にあります。
 

50番目の完全数は2018年に発見されています。

桁はなんと2324万9425桁もの膨大過ぎる数です。

完全数の発見にはメルセンヌ素数と深い関係があります。
 

また、完全数に関連する数もいくつか存在しますので、一つずつ紹介していけたらと思っています。

数学者・サイエンストランスミッター

平間達也