「パターン」と「（具体的な）組み合わせ」を分けて考える
前回のプチスパで、塗り分け問題のこぐま式解法をご紹介しました。
この解き方のメリットとして、
- 塗り方のパターンの問題と色の組み合わせの問題を分離して考えることで、シンプルに分かりやすく考えることができる（間違いが生じる可能性が低い）
ことが挙げられることを説明しましたが、こぐまの宿題の解き方を見て、場合の数の問題では、この考え方を習得することが実は最大のポイントなのではないかということに気づかされました。
くま先生はこの系統の問題は、公式で解ける典型題以外は樹形図に頼りがちで受験生時代よく撃沈していたのですが、この歳になって新しい発見をさせてもらいました。
具体的には
いくつか例題を解きながら具体的に見ていきましょう
【例題】りんごが15個、みかんが3個あります。これらの果物をA, B, Cの3人で分けるとき、何通りのわけ方がありますか。
これはね、みかんの分け方にまず注目するの。この時、「必ず後ろの数字は前の数字より同じか大きい」というルールでパターンの数を数えることが大事だよ。
例えば、(0, 1, 2)と(0, 2, 1)は分け方としては同じでしょ。間違って重複して数えないようにするための工夫。
なるほどー。じゃあ、パターンは（0, 0, 3）か（0, 1, 2）か（1, 1, 1）しかないわけだ。
そう。あとはそれぞれにA, B, Cを割り当てる組み合わせを考えればいいでしょ。（0, 0, 3)の場合は3通り、（0, 1, 2)の場合は6通り、（1, 1, 1）の場合は1通りだね。だから合計3+6+1=10通り。
実はこの問題も同じパターンです。
【例題】上記のように円周を8等分する点をAーHとする。このうち3点を選んで三角形を作るとき、
①二等辺三角形は何通りか
②直角三角形は何通りか
（回転して同じになる図形でも頂点が異なれば違う図形とする）
これ何かラクな方法がないかなーと考えてたら、同じ方法で解けることに気づいちゃったんだよね。まずは、「どんな形があるか」を考えるの。回転して重なるものは同じ図形だからダメだよ。
そうすると、①の二等辺三角形ってこの3パターンしかないんだよね。
あとは、それぞれ何通りあるかを考える。それぞれ今Aにある点がBーHに動くパターンがあり、それらが重なることはないから各8通りだよね。だから答えは8×3=24通り。
そして②も同じ。
直角三角形の形ってこの3つしかないよね。青と赤は似ているけれど回転して重ならないからパターンとして別になることは気をつけてね。
この場合も、今Aにある点がBーHに動くパターンがあり、それらが重なることはないからそれぞれ8通りだよね。だから答えは8×3=24通り
ちなみに演習問題集の模範解答は①は類似の考えで解いていますが、なぜか②は別の考えで解いています。こぐま式の方が統一的に解けてエレガントだと思います。
最後にもう一問。
A-Eの5人が一回じゃんけんをするとき、あいこになる出し方は何通りあるか
この問題、手前に誘導問題があり、それに従うと余事象を使って解くことになります。
私はそれに気づかなかったのですが、こぐまは少し考えて気づいたようで模範解答どおりに解いていました
ただ、先ほどのこぐま式の考え方を使うと、ダイレクトに解くことも可能です。
こぐま式だと、まずはパターンを考えるんだよね。重複を避けるために、必ずグー、チョキ、パーの順番でカウントすることにしよう。そうすると、あいこになるパターンは、全員が同じものを出すパターン（①＝3通り）のほかに、
②（グー、グー、グー、チョキ、パー）
③（グー、グー、チョキ、チョキ、パー）
④（グー、グー、チョキ、パー、パー）
⑤（グー、チョキ、チョキ、チョキ、パー）
⑥（グー、チョキ、チョキ、パー、パー）
⑦（グー、チョキ、パー、パー、パー）
しかない。あとはそれぞれに組み合わせを考えると、②⑤⑦は120÷6=20通り、その他は120÷2÷2=30通りなので、①〜⑦の合計は3+20×3+30×3=153通り
ということだね。なるほどー、場合の数ってこうやって解くと間違えないんだね！
そして今回のSコースカリテ、こぐまが間違えた問題をさっき見たのですが、思いっきりこの考え方使ったら一瞬でとける問題やん！ おい、こぐま、どないなっとんねん（怒ると関西弁になるくま先生
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