塗り分け問題をこぐまどう解くか
今回の算数の単元は場合の数ですね。
私はこの分野、浜学園塾生時代は苦手分野だった記憶があります（※）が、こぐまは比較的得意なようです。
（※）当時浜学園は、毎回の復習テスト実施の際、現在行われている「ベスト3発表」「合格点発表」のほかに、恐怖の「ワースト3発表」もデフォルトで実施されており、私が算数で唯一ワーストをとったのがこの単元だったと記憶しています。（上から8番目のクラスでの公開10傑入りで5クラスupして直後の単元でクラスの学習深度についていけていなかったというのもありますが
）
この単元でなかなかやっかいなのが塗り分け系の問題。こちら、こぐまがなかなか面白い（わかりやすい）方法で解いていたので紹介しましょう。
まずはこちらの問題です。
4色中何色か使って、アーエを隣り合う部分が同じ色にならないよう、塗り分けます。
(1)3色ちょうどを使うとき色の塗り方は何通りか
(2)何色使ってもよいとすると色の塗り方は何通りか
という設問です。
これはね、色をa, b, cとおくとわかりやすいよ。a, b, cがなに色かは後で考えるとして、とにかく異なる色という意味でa, b, cとするでしょ。初めに出る色をa、二つ目に出る色をb…と言った方が分かりやすいかな。そうすると、アがa、イはbは確定。ウはイと同じになれないからcかaになるよね。このときエはどうなる？
3色という条件があるのでアイウがabaのときはエはcだね。アイウがabcのときは、エはa-cのどれかだけれど、イと同じ色は✖️だからaかcだね。
そう。つまりアーエはabac, abca, abccのどれかしかないわけ。a-cに何色を当てるかは4色のうち3色を順番を区別して並べる並べ方なので4×3×2=24。だから答えは24×3=72通りだね。
この考えが分かったら、(2)も楽勝。4色はabcdしかないので4×3×2×1=24通り。2色はabaaしかないから4×3=12通り。なので答えは72+24+12=108通りだね。
類題も見てみましょう。今度は6色持っていて、
(1)4色ちょうどを使う時の塗り方は何通りか
(2)何色使っても良い時の塗り方は何通りか
を求めます。
全く同じだね。4色のときは、アイウはabcで確定。エはdかaがあるよね。そのときオはどうなる？
4色ちょうどという条件があるので、アーエがabcdのときはオはabcのどれかだね。アーエがabcaの場合はオはdだけになるね。
そう。つまりアーオはabcda, abcdb, abcdc, abcadの4パターン。a-dの組み合わせは6色のうち4色選んで並べる組み合わせなので、6×5×4×3=360通り。だから答えは360×4=1440通り。
(2)はもういいでしょ。5色使うパターンはabcdeしかないので6×5×4×3×2=720通り、3色使うパターンはabcabかabcacの2つ。それぞれabcの組み合わせは6×5×4=120通りなので、3色の塗り分けは120×2=240通り。だから答えは1440+720+240=2400通り。
文字化することのメリット
この解き方のメリットは、
- 塗り方のパターンの問題と色の組み合わせの問題を分離して考えることで、シンプルに分かりやすく考えることができる（間違いが生じる可能性が低い）
- ミスを誘発しやすい樹形図にたよらずに済む
文字化ということで抽象的思考が苦手な方はややとっつきにくいかもしれませんが、くま先生的にはこの解き方はとてもエレガントに感じました
最近は算数や理科（物理・化学）で、こんな感じでこぐまの解き方に学ぶこともちょくちょくあるので良いものは紹介していきたいなと思います。
次回はこちら
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