日付変わって、皆さんコンバンワ。
ましゅどくでっせ。
さて、一昨日くらい前に書いてた、
「数学最前線特別講義」
のお話を、ちと遅くなりましたが、したいと思います。
今回のテーマは、タイトルにあるように、
「代数曲線の有理点」
です。
まず、「代数曲線、有理点て何やねんボケぇ。」
って方のために、言葉の説明から。
代数曲線ってのは、例えば、三平方の定理（ピタゴラスの定理）
が挙げられます。
中学校を無事（？）卒業した方なら小耳に挟んだことがあるかと思いますが、
要するに、
「直角三角形の斜辺の長さzの２乗は、
他の２辺の長さx,yの２乗の和に等しい、すなはち、
x^2+y^2=z^2」
ってやつですね。
この式が、代数曲線ってやつです。
他にも有名どこで、
「フェルマーの最終定理」。
これも代数曲線の代表的な例です。
この定理は、
「ｎが２より大きい自然数ならば、
ｘ＾ｎ＋ｙ＾ｎ＝ｚ＾ｎとなる整数ｘ、ｙ、ｚの組は存在しねぇんだぜ。」
という定理なんですが、フェルマーさん曰く、
「あー、ごめんごめん。
オレこの定理の証明をしたんだけど、余白ねぇから書けないわ。」
と言って、死んじゃいました。この証明が難しく、
何人もの数学者が挑みましたが、できませんでした。
そして、約350年後の1997年にワイルズさんによって証明されました。
どうも、フェルマーがホントに証明したかはナゾらしく、
証明を間違ってたのではないか、という話も出てるそうです
（おそらくここの部分で証明を間違ったであろう、という予測までついてるみたいです）。
話が、脇道にそれちゃいました。
次に有理点について、これは、上の代数曲線の式を満たす
有理数（分数の形で表せられる数。1/3とか4/1とか。）の組み合わせのことです。
ピタゴラスの例でいえば、
（x,y,z)=(3,4,5) , (5,12,13)
が有理点です。
つまり今回の講義は、
「代数曲線を満たすような有理数の組み合わせって
どんなことが分かってんの？」
がメインテーマです。
それで、これに対する結論が、
「代数曲線の有理点の中身は、
代数曲線の複素数の範囲での形によって決まるよ。」
ってことだそうです。
「代数曲線の複素数の範囲での形ぃ????」
と思われた方は多いと思いますが、これを理解するには、
「位相幾何学（トポロジー）」という数学の概念が必要になってくるし、
オイラはついこの前まで位相に関する勉強をしてたんで、
何となく理解したつもりでいたのですが、特別講義に参加できなかった友達に
説明しようと思ったら、上手く説明できませんでした…。
なので、以下、詳しい説明はせず、
「ふ～ん、そういうのがあんだ～。」
程度で、受け流しちゃってください。
「代数曲線の複素数の範囲での形」
には、いろんな種類があります。代表的な3つが、
「ボール型、ドーナツ型、２人乗りの浮輪型」
です。
これらにはそれぞれ、穴が０個、１個、２個、ありますよね。
この「穴」のことを数学用語で「種数」というそうです。
具体的に、ピタゴラスの式を「複素数の範囲での形」で表すと、
種数1のボール型になります。
フェルマーのあの式は「複素数の範囲での形」で表すと、
種数2以上の形になるそうです。
この種数の数によって、有理点の中身が決まってきます。
種数が０のとき、つまり、ボール型のとき、
「有理数の解が少なくとも一つあるのかどうかの判別法があり（Hasseの定理）、
もし、その判別法により、有理数解が１つあるということが分かれば、全体では、
無限個解があるということが分かり、しかもその全部を求められる」
そうです。
つまり、種数０のときは、代数曲線の有理点の組み合わせの求め方ってのは、
もう分かっちゃってるわけですね。
次に、種数が１のとき、つまり、ドーナツ型のとき、
「有理数解があんのかないのかの判別法は、まだ未解決で、
もし解が存在するなってことが分かった場合、
そのうち何個かの解が分かれば、解の全部が求められるが、
具体的に何個の解が分かればええねん、ってのも未解決」
だそうです。
種数１のときになると、未解決部分が存在するようになりますね。
しかも、この未解決問題、証明しちゃうと、どっかの研究所が、
「1,000,000＄あげちゃうよ～」
とのこと。
我こそはって思う方は、どーぞ。（笑）
さて、最後に、種数２のとき、つまり、2人乗り浮輪型の場合、
もしくは種数が3以上（穴が3個以上）になった場合、
「代数曲線の有理点の数は有限個なんだぜ
（Faltingsの定理、または、Mordell予想という）。
どうだ、すげぇだろ。
あぁ？実際に解の数はどんくらいあって、
その解が具体的になんぼか求められるのかだと?
そんなの知るか、ぼけぇ！」
とのことです。（笑）
つまり、今度は、解の数は有限個ってのは分かってんだけど、
その数がいくつか、値はいくらなのかを求めることはまだ未解決だ、
ということです。
まあ、こんなことをつらつらと話してましたね。
そういえば、講義には10人弱いたんですが、
講義が終わった後、拍手したのはオイラだけ。
「拍手するのは、講演者に対するマナーだろがっ！ ヽ(`Д´)ノ」
と思いました。
まあ、あとからパラパラ～っと拍手が起こったけどね。
こういう類の問題は、「整数論」と呼ばれてます。
大学受験のとき、こういう「整数論」の問題が苦手だったのよね。
どっから手をつけりゃいいのか分かんなかったし。
そういうのを、うんうん悩みながら、証明を見つけ出す数学者は
やっぱり凄いですわ。
オイラはふと、思ったんですけど、
「こういうの考えてる優秀な数学者に、
物理学の知識を身につけさせたうえで、
現代物理の謎を与えてやったら、
もしかしたら、証明しちゃうんじゃね？」
っと思いました。
なぜかというたら、まあそんくらい数学者は考えてる次元が違う
って思ってるのがメインですね。根拠になってないけど。
また、オイラとは違うクラスの電磁気学Ⅱのテストで
テストの最高点をとったのは、物理系の生徒ではなく、
数学系の生徒だった、という噂が…。
そういうのを聞いて、上のことを思っちゃったわけなんです。
物理学者の皆さん、不謹慎でゴメンナサイ（？）。
さ、もう11：00になるんで朝飯食いたいと思います
（実は、この記事を書いてたら、途中で寝てしまったんですね。
だから、上の日時と、実際に公開した時間は
睡眠時間の分だけ大きくずれてます（笑））。
ちなみに、今回の授業はパワポ形式でやってて、
実際に使われたパワポがネット上にあるんで、
興味を持った方は、下のURLをクリッククリック～。
http://www.math.tohoku.ac.jp/~shinichi/saizensen
おそらく期間限定なんで、お早めに～。
それでは、
また今日。 (^-^)/
注：今回も数学の専門家等が見たら、
「そこ間違ってる!」と指摘が来るかもしれないですが、
大目に見てやってください…。