Dをxy平面上の閉領域として、f(x,y)、g(x,y)をD上で定義された連続関数とし、f(x,y)≧g(x,y)であるとする。
ここで、曲面z=f(x,y)とz=g(x,y)で囲まれた領域の体積をVとすると、
V={(x,y,z) | D∋(x,y),g(x,y)≦z≦f(x,y) }の体積Vは、
V=∫∫{f(x,y) - g(x,y)}dxdy (積分は閉領域Dにおいて)となる。
ここで、Dは求める立体のxy平面への正射影となっている。
本問においては、閉領域Dは円柱とxy平面との交わりとなり、
D={(x,y) | (x - a/2)^2 + y^2 ≦(a/2)^2, y≧0 }となる。ただし対称性を考慮して求める体積の1/4領域を考えy≧0において考える。求める体積Vは
(1) V=4∫∫√(a^2 - x^2 - y^2)dxdy (積分は閉領域Dにおいて)となる。
Dをxy平面での直交座標から極座標に座標変換すると、
dxdy=rdr dθとなり、閉領域Dは下図を参照して、
D’={ (r,θ) | 0≦r≦a*cosθ, 0≦θ≦π/2}となる。よって求める体積Vは、
(2) V=4∫dθ∫r√(a^2 - r^2)dr (ただし、内側の積分は0からa*cosθまで、外側の積分は0からπ/2まで。以下同じ)
よって、
V=(4/3)a^3∫(1 - (sinθ)^3)dθ
求める体積Vは、
V=(4/3)(π/2 - 2/3)*a^3
二重積分は積分を二回することなので入試レベルで対応できると思われますが、座標変換(変数変換)でのヤコービアンの計算、本問ではdxdyが、drdθのr倍になることが難関かなと思われます。