素人考え

統一理論について。

重力論などでは、一般相対論で要請されるリーマン時空、言い換えればハウスドルフ空間において、運動方程式や一般座標変換を考えてるみたいですが。モノはテンソルか？

重力理論と対応される素粒子論では、ほとんどの教科書で、いわゆる相対論的量子力学、波動または粒子に対する方程式がローレンツ変換に対する不変性を満たすことから出発しています。、ですから電気力と弱い相互作用とかの電弱統一理論なんぞは、距離の概念が同じミンコフスキー空間なので莫として、素人でも見通しはつく気がします。

ですが、四つの力の統一などあり得るのでしょうか？
定義域のミンコフスキー空間からリーマン空間への解析接続など可能なのでしょうか？
そもそも定義域の変数なんぞ抽象的な数学的な位相でしかあり得ない。

多体問題

根源的な悲しみは癒えることがあるのでしょうか？

AdamとEvaの子Cainは罪をおかしてさまよった。

妄想あたまの整理

遠回りしてぼんやり見えてきた。
でも最小作用なのでしょう。願いたい。

内積空間って？
関数解析の本を見ると、内積空間とは、空間の要素であるベクトルに関する内積演算がいくつかの諸性質を満たす空間である、と。
即ち、内積演算が以下を満たす。

・線型性。
・エルミート性。
・ノルムが非負。
・特に演算に関わるベクトルがゼロベクトルならばノルムはゼロ。逆も真。

上の性質は内積演算が写像として満たすべき性質であるが、特に下２つは距離の満たすべき定義であり、ノルムの定義により空間の様相が異なってくる。
また、内積については、
数学やってる方は一般的に空間を無限次元で捉え、射影を考えることで、距離が持つ基本的な性質である三角不等式を空間に備わる概念とすることで空間を抽象化するが、、物理屋さんは単純に空間として三次元複素数体を考え、内積を三次元複素ベクトルを一次元複素数に対応させる写像と考えるようである。


ここでは、簡単のため、三次元内積空間を考え、ノルムは一般的なユークリッドノルムを考えると、内積空間とは、即ち、
空間の中の全ての各点でベクトルを定義できる。物理の言葉で言いきるなら、ベクトル場のことである。


では最終的にヒルベルト空間とは、完備な内積空間であるから、、言い替えると、自己完結したベクトル場であるから、このヒルベルト空間内の空間内自己完結した要素であるベクトルは物理現象における、ある粒子の状態＝波動関数などにモデル化できるし、はたまた、この空間でベクトルの満たす場の運動方程式なんぞも考えることができる。

量子力学構築の際に、昔の偉い物理学者がヒルベルト空間を器にした理由が分かるような気がする。多分と言うか絶対妥当な結果のでしょう。