数物事始め

長旅のあと、
今日、ヒルベルト空間が、見えかけてきました。


ヒルベルト空間とは？
即ち、完備な内積空間である。
以前、念仏のように唱えてました。

しかし、わたくし、完備という概念がなかなかしっくりきていませんでした。

では内積空間が完備とは？即ち、空間の任意のコーシー列の収束先が、その空間内の点である。
わたくし、これでもぼやけていました。
以下、本題、上をかみ砕きたいと考えます。ここでは簡単のため距離空間について考えます。

では、コーシー列とは？
即ち、点列であり、お隣りさん同士の点の間の距離が、列の番号が極限にいくと小さくなり、先づまりになる点列。

ではコーシー列が収束するとは？
即ち、コーシー列の極限先で点間距離が先ぼそりになった先頭が、おとなしく、ある一点に収束すること。
さらに、この空間内の任意のコーシー列の収束先が空間の中の点におさまれば、距離空間は完備である、と。


では内積空間とは？
いつか妄想したいと思います。