貴女は何をみつめているの
貴女は少女のようなあどけなさに惑わされてる
僕の心は行ったり来たり
何処に行けば良い
春のまどろみが影りを纏うみたいに夕陽と貴女が重なりあう
触れては消えるシルエット
あこがれはだまし絵から貴女をうばうことはできない
貴女は少女のようなあどけなさに惑わされてる
僕の心は行ったり来たり
何処に行けば良い
春のまどろみが影りを纏うみたいに夕陽と貴女が重なりあう
触れては消えるシルエット
あこがれはだまし絵から貴女をうばうことはできない
下の図のように、２台の台車がバネｋで連結されていて、それぞれf1,f2なる力を加えて動かす。２台の台車はどのような運動をするだろうか。２台の台車の平衡位置からの変位をそれぞれx1,x2とする。
それぞれの台車につき運動方程式を立てる。
台車１（質量ｍ）は
(1) mx1’’=f1－k(x1－x2)
x’はxの時間微分をあらわす。以下同じ。
台車２（質量Ｍ）については
(2) Mx2’’=f2－k(x2－x1)
ここで、新しい変数として、x3=x1’,x4=x2’をとると、
運動方程式(1),(2)は以下の４元方程式となる。
x1’=x3
x2’=x4
x3’=－(k/m)x1+(k/m)x2+(1/m)f1
x4’=(k/M)x1－(k/M)x2+(1/m)f2
行列表示すると、
ここで、ベクトル(x1,x2,x3,x4)の係数行列の特性方程式は固有値をsとして、
s^4+(k/m+k/M)s^2=0
よってs=0(重根)、±i√(k/m+k/M)
ここで、
s=0(重根)に対してはx3,x4の符号によって２台の台車はそれぞれ等速度運動する。
s=±i√(k/m+k/M)に対して、２台の台車はともに固有振動数√k/m+k/M)で単振動する。
よって実際には２台の台車は上記の運動を重ね合わせた運動をすることになる。
固有値はシステムの顔と言える。
ｐｓ
実際の応用の場としてのシステムの解析では、入力を力のベクトルu=(f1,f2)、力に対する出力として変位ベクトルy=(x1,x2)として順問題として伝達特性を求めて過渡特性や定常特性を求めます。
調和振動子の方程式
(1) mx’’(t)=－kx(t)
すなわち
(1)' x’’(t)=－(ω^2)x(t)
ただし
mは質量、ωは角振動数、kはバネ定数
x(t)はバネの自然長からの変位
x’(t)はx(t)の時間tによる一回微分を表す。
ここで
v(t)=x’(t)と置くと(1)’は2元連立方程式
(2) x’(t)=v(t)
(3) v’(t)=－(ω^2)x(t)
となる。
一般に、x,yを変数として以下の2次元システムを考える。
x’(t)=f(x,y)
y’(t)=g(y,x)
ここで
x’(t)=0すなわちf(x,y)=0となる(x,y)平面での曲線をx-nullcline
y’(t)=0すなわちg(y,x)=0となる(x,y)平面での曲線をy-nullcline
と呼ぶ。
ここで話を(2),(3)のシステムに戻すと、nullclineは以下の図のようになる。
上の図で
x-nullclineはv(t)=0よりx軸。
v-nullclineは－(ω^2)x(t)=0よりv軸であり、
x-nullcline上でflowは(x’,v’)=(0,－(ω^2)x)より、xが正のとき下↓。xが負のとき上↑となり
v-nullcline上でflowは(x’,v’)=(v,0)より、vが正のとき右→、vが負のとき左←となる。
上図での①、②、③、④はそれぞれ
① 変位x=０、速度v=(正のmax)
② 変位x=(正のmax)、速度v=0
③ 変位x=0、速度v=(負のmax)
④ 変位x=(負のmax)、速度v=0
に対応する。
バネの模式図で表すと①～④は以下のようになる。
上の例からはあまり有難味が感じられないかも知れませんが
nullclineは複雑なシステムを定性的に解析する際に役に立つ概念（手法）です。