憎しみの傍に愛は住むという
優しい雨が降る
街がふしぎ色に染まってく
時間に泳いでるみたいに
夜が加速してく
静寂のなか身動きがとれない
怖くない
もっと息をひそめて
すべてを流して
そらさないで
朝までに雨はやむでしょう
はじまってしまったから
感情を上手く出せなかった
君を愛してふれて
頑なだったこころに穴があいた
僕はこんなにも感情(きもち)をだせるんだ
夢をみてるみたいに歳月(とき)が過ぎて
夢をみてるみたいに愛(きみ)を追いかけてた
僕らは遠い旅をしているみたいに
季節に引き裂かれたとしてもまた巡りあう
涙流れるように不器用で我がままでも
君は心(あい)に溢れています
遠い宇宙で星が消えて生まれるみたいに何度でも
今もこれからもいつまでも歩いていこう
以下のような1つの変数x、1つのパラメタαのシステムf(x,α）を考えます。fはx,αに関して連続と仮定します。
f(x,α)= –(1+α)x＋x^3
ここでfを２回作用させます。y=f(x,α)とすると、
f(f(x,α),α)=f(y,α)=－(1+α){－(1+α)x+x^3}+{－(1+α)x+x^3}^3
=（(1+α)^2）x－{(1+α)(2+2α+α^2)}x^3+O(|x|^5)
よって、f(f(x,α),α)=xを満たす不動点は
すべてのαに対してx=0、
α＞0に対してx=±√αとなります。
つまり
x1=√α、x2=－√αとおいて
x2=f(x1,α)
x1=f(x2,α)
となります。
よってαの値によってf(x,α)の関数形が異なってくるので
以下のような図が描けます。
(1)α＜０のとき
(2)α＝０のとき
(3)α＞０のとき
上図でα<0のときは、ある初期状態xに対して軌道は安定な不動点x=0に収束していきます。
α>0のとき、軌道はx=±√α,y=±√αなる正方形の４辺に内側及び外側から近づきます。すなわちα=0を境に、安定な閉軌道（リミットサイクルといいます）が生じ、不動点のひとつの原点の安定性が失われます（軌道が原点から離れていきます）。
上記のようなα=0での不動点の変化を(supercritical)flip分岐といいます。
いつかflip分岐の面白いモデルについて書きたいと思います。