(問題)
ある鉛直面(t,x)内において、定点Oから定点A(a,b)まで、質量Mの質点が、ある経路に沿って重力のみにより運動するとき、質点が点Oから点Aまで最も早く到達するときの経路x(t)はどのような曲線になるだろうか？
質点がx落下した時の速度は√2gxであるから、質点がOから位置xを通過するまでの時間をτ、点Oから位置xまでの経路長をsとすると、
ds/dτ=√(2gx)
よって
dτ=ds/√2gx=√(dx^2+dt^2)/√2gx=√(1+x’^2)/√2gx・dt
よって、τは以下のtについての0からaまでの定積分
τ=∫√(1+x’^2)/√2gx・dt
となる。
よって求めるx(t)の関数形は
評価関数(汎関数)I(x(t))=∫√(1+x’^2)/√x・dt
を最小にする関数x(t)を求める変分問題に帰着する。
ここで、Iの右辺の被積分関数をf(t,x,x’)=√(1+x’^2)/√xとおく。
オイラーの変分の必要条件は
(1) f－∂f/∂x’・x’=∫(∂f/∂t)・ｄｔ
ここで、（以下計算）
∂f/∂t=0
∂f/∂x’=x’/√(x(1+x’^2))
これを(1)式に代入して整理すると
x(1+x’^2)=C (Cは定数）
上式において、x’=cotθとおいて
x=C/(1+cotθ^2)=Csinθ^2=C(1－cos2θ)/2
また、
dt/dθ=(dx/dθ)・(dt/dx)=Csin2θ/cotθ=2Csinθ^2=C(1－cos2θ)
積分して
t=C(θ－(sin2θ)/2)＋D
ここで初期条件t=0の時x=0を考慮してD=0
以上より、求める関数はθをパラメータとして
t=C(2θ－sin2θ)
x=C(1－cos2θ)
となる。これはサイクロイド曲線である。
