以下の非線形ばねの微分方程式の近似解を求めよ
1) x’’+(ω^2)x+εx^3=0（ただしεは微小）
解）
おなじみ摂動法で求める。
変位xと振動数ωをεで級数展開すると
2) x=x0+εx1+(ε^2)x2+(ε^3)x3+・・・・
3) ω^2=ω0^2+εω1^2+(ε^2)ω2^2+(ε^3)ω3^2+・・・・
上式を1式に代入して、εの係数につき比較すると
4) x0’’+(ω^2)x0=0
5) x1’’+(ω^2)x1=(ω1^2)x0－x0^3
6) x2’’+(ω^2)x2=(ω2^2)x0+(ω1^2)x1－3x0x1
初期条件を
x0=A,x1=x2=x3=・・・・=0
x0’=x1’=x2’=x3’=・・・・=0
として
2式より
x0=Acosωt
ω0=ω
これと5式から
x1’’+(ω^2)x1={(ω1^2)A－(3/4)A^3}cosωt－(1/4)A^3cos3ωt
上式の一般解を求めると
x1=Csinωt+Dcosωt+{(ω^2)A－(3/4)A^3}(t/2ω)sinωt+(A^3/(32ω^2))cos3ωt
ここで上式の右辺第３項は時間とともに発散する項で、永年項とよばれる。
ここで、求める微分方程式1式は斉次方程式であるから近似解のなかに永年項が現れるのは1式の厳密解の形から考えて矛盾する。
この原因は求める微分方程式1式の右辺に左辺の斉次方程式の解が現れたためで、系と外力が共鳴したためである。
よって摂動法では微分方程式1式の近似解は精度が悪く破たんする。
この摂動法の破たんを回避するためにはどうすればいいか？
いつか書きたいとおもいます。
