構造安定性について

システムに加わる摂動によって、システムの幾何学的な分岐構造が不変であることを構造安定(structural stability)という。以下、saddle node分岐、transcritical分岐するシステムの構造安定性について調べる。

1)saddle node分岐
saddle node分岐の一般形は
(1)  dx/dt=μ－x^2
ここでμはパラメータである。
1式の平衡解はdx/dt=0より、x=±√μ
よって分岐ダイアグラムは以下のようになる。
分岐ダイアグラムとは平衡解xとパラメータμの関係図である。
 

ここで、1式に摂動ε(<<1)を与えると、
(2)dx/dt=μ＋ε－x^2
分岐ダイアグラムは(1)の分岐ダイアグラムを横軸に－εだけ平行移動したものであり、(1)と(2)で幾何構造に変化はない。
また、1式に一次の摂動εxを加えると、
(3)dx/dt=μ＋εx－x^2=μ＋ε^2/4－(x－ε/2)^2
分岐ダイアグラムは(1)式の分岐ダイアグラムを横軸に－ε^2/4、縦軸にε/2だけ平行移動したものであり、幾何構造に変化はない。
同様に2次以上の摂動を1式に加えても、分岐ダイアグラムの幾何構造に変化はない。
よって、(1)式のsaddle nodeシステムは構造安定である。

2)transcritical分岐
transcritical分岐システムの一般形は
(4)dx/dt=μx－x^2
平衡解はdx/dt=0より、μx－x^2=0 ゆえx=0 またはx=μである。
ゆえ、分岐ダイアグラムは以下のようになる。
 
ここで、(4)式に摂動εを加えると、
(5)dx/dt=μx－x^2＋ε
平衡解はdx/dt=0よりμx－x^2＋ε=0を解いて
x=(μ－√(μ^2＋4ε))/2　または　x=(μ+√(μ^2＋4ε))/2
よって(5)の分岐ダイアグラムはεの符号によって、以下のようになる。
ε>0のとき
 

ε<0のとき

よって(4)式に摂動εを加えることにより分岐の幾何構造が変化する。
ゆえ、transcritical分岐するシステムは構造安定ではない。


例えば脳ではニューロンが発火に至るのに、ニューロンのタイプによって構造安定なsaddle node分岐を経たり、構造不安定なAndronov Hopf分岐を経たり、いろいろな分岐が起こっているそうです。dynamicalな現象は奥が深いです。

久しぶりに

連休打ち上げ。



ぐびぐびっといきます。

ひとりぽっちで躍らせて(研ナオコ)

ひとりぽっちで踊らせて
悪いことじゃないでしょ

夢を忘れることなんて容易い
ひと酔いで心塗り替えられる
だからひとり
今はひとり


優しくしないで
つれないあのひとを思い出すから

うらみの言葉も出ないくらい奴色に染まってる
だからひとり
構わないで

酔いどれ
ふざけて
奴を忘れるわ