強制系の微分方程式の解は、斉次方程式の一般解に、強制系(非斉次式)の解のひとつ(特解)を足し合わせたものとなる。(証明は難しいのでいつか記事にしたいと思います)
斉次方程式の一般解は前回の記事で求めたので、以下、強制系の特解を求める。
強制系の微分方程式
(1) x’’(t) + b x’(t) + c x(t) = F sin(t)
を考える。
前回の記事と同様にして(1)は、
(2) X’(t) = A X(t) + F sin(t)
と置ける。ここで、A は2×2の係数行列、力F は列ベクトル(0,1)「、「は転置。
以下(2)の特解を求める。特解をY(t) として、天下り的だが、
Y(t) = Φ(t) p (t)
と置く。但し、Φ(t) = exp(At)とした。このY(t)を(2)のX(t)に代入して成り立たなければならないから
(dΦ/dt) p (t) + Φ(t) (dp/dt) = A Φ(t) p (t) + F u(t)
ただし、u(t) = sin(t) と置いた。ここで、
dΦ/dt = d(expAt)/dt = A exp(At) = A Φ(t)
よって
A Φ(t) p (t) + Φ(t) (dp/dt) = A Φ(t) p (t) + F u(t)
ゆえに
Φ(t)(dp/dt) = F u(t)
これを積分して
p (t) = ∫ Φ^(τ) F u(τ) dτ （0 からt まで積分、以下同じ）
ただしΦ^はΦの逆関数。よって強制系の特解は、
Y(t) = Φ(t) ∫ Φ^(τ) F u(τ) dτ
すなわち、Φ(t) = exp(At) であることを考慮して、
Y(t) = ∫ Φ(t - τ) F u(τ) dτ
よって、求める(2)の一般解は、
X(t) = (斉次式の一般解) + (強制系の特解)
故に
X(t) = exp(At) X(0) + Y(t)
(3) X(t) = exp(At) X(0) + ∫ Φ(t - τ) F u(τ) dτ ■
ここで、解(3)式のX(t) の第一項は初期値X(0) に対する応答、すなわち初期応答であり、第二項は入力u(t) に対する応答、すなわち入力応答である。ここで、初期応答exp(At) X(0) は初期値が与えられたとき、解がどのように時間発展していくかをあらわすものであるので、exp(At) は基本行列の別名として状態遷移行列( state transition matrix )ともいう。
また、システム工学の分野では、(2)で表される物理システムに適当な入力u(t)を与えることによって状態（物理量）であるX(t)を所望の値にコントロールできるとき、システムは可制御( controllable )であるという。例えば天文学で言えば、もし星の重力崩壊の原因となる変数群がベクトルX(t) として(2)式のように表され、かつ可制御であれば、初期値によって決まっている状態のflow(初期応答)を、何らかの入力u(t) によって（入力応答によって)コントロールできることになる。実際はどうなのだろうか。。
斉次方程式の一般解は前回の記事で求めたので、以下、強制系の特解を求める。
強制系の微分方程式
(1) x’’(t) + b x’(t) + c x(t) = F sin(t)
を考える。
前回の記事と同様にして(1)は、
(2) X’(t) = A X(t) + F sin(t)
と置ける。ここで、A は2×2の係数行列、力F は列ベクトル(0,1)「、「は転置。
以下(2)の特解を求める。特解をY(t) として、天下り的だが、
Y(t) = Φ(t) p (t)
と置く。但し、Φ(t) = exp(At)とした。このY(t)を(2)のX(t)に代入して成り立たなければならないから
(dΦ/dt) p (t) + Φ(t) (dp/dt) = A Φ(t) p (t) + F u(t)
ただし、u(t) = sin(t) と置いた。ここで、
dΦ/dt = d(expAt)/dt = A exp(At) = A Φ(t)
よって
A Φ(t) p (t) + Φ(t) (dp/dt) = A Φ(t) p (t) + F u(t)
ゆえに
Φ(t)(dp/dt) = F u(t)
これを積分して
p (t) = ∫ Φ^(τ) F u(τ) dτ （0 からt まで積分、以下同じ）
ただしΦ^はΦの逆関数。よって強制系の特解は、
Y(t) = Φ(t) ∫ Φ^(τ) F u(τ) dτ
すなわち、Φ(t) = exp(At) であることを考慮して、
Y(t) = ∫ Φ(t - τ) F u(τ) dτ
よって、求める(2)の一般解は、
X(t) = (斉次式の一般解) + (強制系の特解)
故に
X(t) = exp(At) X(0) + Y(t)
(3) X(t) = exp(At) X(0) + ∫ Φ(t - τ) F u(τ) dτ ■
ここで、解(3)式のX(t) の第一項は初期値X(0) に対する応答、すなわち初期応答であり、第二項は入力u(t) に対する応答、すなわち入力応答である。ここで、初期応答exp(At) X(0) は初期値が与えられたとき、解がどのように時間発展していくかをあらわすものであるので、exp(At) は基本行列の別名として状態遷移行列( state transition matrix )ともいう。
また、システム工学の分野では、(2)で表される物理システムに適当な入力u(t)を与えることによって状態（物理量）であるX(t)を所望の値にコントロールできるとき、システムは可制御( controllable )であるという。例えば天文学で言えば、もし星の重力崩壊の原因となる変数群がベクトルX(t) として(2)式のように表され、かつ可制御であれば、初期値によって決まっている状態のflow(初期応答)を、何らかの入力u(t) によって（入力応答によって)コントロールできることになる。実際はどうなのだろうか。。