以前、同色のカードを等間隔に並べるという問題を考えました。
横一列に並べたトランプを一枚ずつ選んでめくっていって、何枚めくれば等間隔に並んだ同色のカードを必ず見つけられるかという問題です。
等間隔の３枚だと5枚めくれば必ず見つけられます。
等間隔の４枚だと14枚で見つけられる方法が知られていて、13枚以下で出来る方法は無いのか？
という話でした。
13枚で出来そうかなーと言っていたんですが、やっぱり難しくてできませんでした。
諦めが肝心ということで考えるのはやめました。
３枚から４枚になると一気に難しくなるんですが、どれほど難しくなるかってことを表現したくて次の問題を考えてみました。
カードを表向きに端から順番に並べていって、何枚並べれば必ず等間隔の同色のｎ枚のカードが現れるのか？
言い換えると、同色の等間隔のｎ枚のカードが現れないように最大何枚のカードを並べられるか？
という問題です。
まず、３枚が等間隔に現れないように並べられる最大枚数は8枚です。
つまり9枚のカードをどのような順番に並べても必ず等間隔の同色の３枚が現れてしまいます。
８枚の並べ方は次の三種類です（左右反転と色を入れ替えたパターンは省略しています）
赤と黒のカードの代わりに白丸○と黒丸●で表しています。
〇〇●●〇〇●●
〇●〇●●〇●〇
〇●●〇〇●●〇
では4枚はというと？
答えは、
4枚が等間隔にならないように並べられる最大枚数は34枚。(35枚をどのように並べても必ず等間隔の4枚が現れます)
〇〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●●
〇〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●〇
〇〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●●
〇〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●〇
〇〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●〇〇●〇〇〇●●●〇●●
〇〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●●〇●〇〇〇●●●〇●〇
〇●〇●●●〇〇〇●〇〇●〇●●●〇〇〇●〇〇●〇●●●〇〇〇●〇●
〇●〇●●●〇〇〇●〇〇●〇●●●〇〇〇●〇●●〇●●●〇〇〇●〇●
〇●〇●●●〇〇〇●〇●●〇●●●〇〇〇●〇〇●〇●●●〇〇〇●〇●
みたいな感じで、対称形を除けば多分これで全部です。
8枚→34枚と一気に増えることを見ると、最初の問題も一気に難しくなっている雰囲気が何となくわかります。
等間隔の枚数が5枚、6枚と増えていくとどうなるのでしょう？
ちゃんと考えるのは大変ですので、まじめに考えずに予想して遊ぶことにしましょう。
忘れちゃいけません、パズルは遊びですよ。
8, 34,・・・となる数列が何か意味のある数列になっているかもしれません。
これだと数列が短すぎるので2枚の等間隔のケースも見てみましょう。
これは簡単に、3枚並べれば等間隔の2枚ができることがわかります。
ですので、等間隔を作らない最大枚数は2枚です。
さらに、1枚の等間隔のカードが並ばない最大枚数は明らかに0枚です。
0, 2, 8, 34,・・・という数列がないかオンライン整数列大辞典で探してみると
出ました！A014445
0, 2, 8, 34, 144, 610, 2584, 10946, ・・・
という数列です。
えーと、なになに、偶数のフィボナッチ数列ですと！？
フィボナッチ数列の偶数だけ取り出した数列ですか
へぇー！！面白いのがでてきましたね。
なんかもっともらしい気もしてくる数列です。なんでこんなのが出てくるのか全然わかりませんが・・・
この数列通りだとすると5枚の等間隔を作らない最大枚数は144枚、6枚だと610枚と予想できます。
なんか本当にもっともらしい気がする数字ですね。
私には確かめられませんが、誰か並べてみてください。
もしこんなにきれいな数列になるなら、なにか証明する方法があるでしょうか。興味深いです。
私にはできませんけどねー