「数の本」（コンウェイ＆ガイ著）を見ていたんですが、◯◯数と名前のつくものってすごくいっぱいありますね。
とても重要なものからそうでなさそうなものまで、本当にたくさんあります。
適当に新しい数をいっぱい作って、適当にかっこいい名前を付けて遊びましょう。
今後なにか発見されて、重要な数になるかもしれません。
今回は、「数の本」に載っていたモエッスナーの魔法を使って遊びましょう。
モエッスナーの魔法とは次のようなものです。
紙に自然数の列1,2,3,4,5,…を書いたら2,4,…と一つおきに◯を付けていきましょう。
左から順に、◯の付いていない数字を足し合わせて下に書いていきましょう。
すると平方数の列が現れます。
これはよく知られた平方数の性質です。
次に２つおき、つまり3n番目に◯を付けていきましょう。
◯印はその数を取り除くという意味です。残った数を同じように足していきましょう。
こうして出来た数列の各ブロックの右端の数に再び◯を付けていきます。
そして、残った数にまた同じ操作をします。
こうすると今度は3乗数の列1, 8, 27,64, 125, …ができます。
同様に4n番目に◯を付けていくと次のようになります
今度は4乗数1, 16, 81, 256,…ができました。
このようにkn番目に◯を付けると、k乗数が得られます。
面白いですね。まあこのへんまでは、計算すれば仕組みはわかります。
さて、今度は三角数n(n+1)/2に印を付けて同じ操作をしましょう
「数の本」によると、階乗数n!の列1, 2, 6, 24, 120,…が現れると書いています。
各ブロックの頂点を拾っていくみたいです。そんでもって最初の１も含めるみたいですね。
この辺はそうゆうルールだと思って、コンウェイさんガイさんに従いましょう。
次に、平方数n^2に〇印をつけると、1, 2, 12, 144,…という数列が現れて、これは
１
１×２×１
１×２×３×２×１
１×２×３×４×３×２×１
という列になっているみたいです。
ここまでが「数の本」に書いてある内容です。
このように自然の列に何らかの規則に従って〇印を付けていき、上のような操作をすると、魔法のように別の規則的な数列が得られるというものです。これがモエッスナーの魔法というそうです。
面白いですね。
これを使って新しい数列を見つけましょう。
他のなんらかの数列に対応する数に◯を付けて、どんな数列が得られるかも試してみたくなります。
でもそれだと安直すぎてみんなやってそうなので、もうすこし違うことをやってみましょう。
スタートの数列を自然数ではなく別の数列にしてやってみましょう。
素数
素数の列でやってみましょう。
素数列の2n番目に◯を付けます。
得られた数列は2,7,18,35,58,89,130,…
オンライン整数列大辞典で検索してみるとA077131「Sum of odd-indexed primes.」
これは既にありますね。
では3n番目に〇を付けましょう
得られた数列は
2, 14, 54, 142, 302, 558, 940, 1472, 2184, 3110, 4300, 5780, 7584, 9742,12288…と続きます。
これはオンライン整数列大辞典で検索しても出てきません！
新しい数を見つけました！
名前を付けちゃいましょう。
それっぽい名前がいいので、数学者っぽい名前をAIに頼んで考えてもらいました。
以下に出てくる名前は全て架空の数学者の名前です。
ヴァイスマン数（Weissmann number）
2, 14, 54, 142, 302, 558, 940, 1472, 2184, 3110, 4300, 5780, 7584, …
素数列に対し、3nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
一つできました。
この調子でどんどん作りましょう。
4n番目に〇をつけると
ミハイロフ数(Mikhailov number)
2, 30, 166, 580, 1536, 3402, 6656, 11916, 19966, 31718, 48212,…
素数列に対し、4nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
5n番目に〇をつけると
エグモント数(Egmont number)
2, 58, 488, 2284, 7612, 20328, 46604, 95696, 180638,…
素数列に対し、5nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
数がどんどん大きくなっちゃうのでこのへんまでにします。
自然数にモエッスナーの魔法を使うと2乗数、3乗数、⋯が出てくるわけですから、
A077131は素数を自然数とする世界での2乗数、ヴァイスマン数は3乗数、ミハイロフ数は4乗数、エグモント数は5乗数とみなせる？？
みたいな解釈したらなんかいいことないかなー、なんて。
続いて、三角数に〇を付けると
ドレスナー数(Dressner number)
2, 3, 10, 48, 264, 1730, 13024, 110566, 147326,…
素数列に対し、n(n+1)/2に関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
平方数に〇を付けると
バルカシュ数(Balkash number)
2, 3, 22, 298, 6596, 214800, 9641294,…
素数列に対し、n^2に関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
フィボナッチ数列
次はフィボナッチ数列でやってみましょう
フィボナッチ数列の2n番目に〇をつけると
1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, 987,…
これはオンライン整数列大辞典にあるA001906という数列です。
以降はオンライン整数列大辞典に載っていなかったので、名前を付けていきましょう。
3n番目に〇をつけると
ホルスト数(Horst number)
1, 6, 29, 128, 549, 2334, 9897, 41936, 177657, 752582, 3188005, 13504624, 57206525, 242330750, 1026529553,…
フィボナッチ数列に対し、3nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
4n番目に〇をつけると
ソーンダイク数(Thorndike number)
1, 13, 106, 759, 5255, 36096, 247513, 1696621, 11628994, 79706535, 546316991,…
フィボナッチ数列に対し、4nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
5n番目に〇をつけると
フェルゼン数(Fersen number)
1, 27, 374, 4357, 48773, 541740, 6009389, 66647315, 739133230,…
フィボナッチ数列に対し、5nに関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
三角数に〇を付けると
カレニナ数(Karenina number)
1, 1, 4, 26, 261, 4062, 98912, 3809193, 233828044,…
フィボナッチ数列に対し、n(n+1)/2に関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
平方数に〇を付けると
ヴォーゲル数(Vogel number)
1, 1, 9, 202, 11001, 1456311, 481661700,…
フィボナッチ数列に対し、n^2に関するモエッスナーの魔法を使って得られる数
まだまだ作りたいですが、今回はこのへんで。