Linux MintのCinnamon、MATE、XFCEは、いずれも同じLinux MintというOSの「デスクトップ環境」が違うバージョンです。OSの基本的な部分は共通していますが、ユーザーインターフェースやパフォーマンスに大きな違いがあります。

Cinnamon（シナモン）

CinnamonはLinux Mintチームが開発したメインのデスクトップ環境です。

特徴: Windowsのようなモダンで洗練された外観と、直感的な操作性が特徴です。Linux Mintの顔とも言えるエディションで、デフォルトで多くの機能と視覚効果が有効になっています。
推奨ユーザー: デスクトップ環境の機能性やデザイン性を重視するユーザー、特にWindowsから移行するユーザーに最適です。
パフォーマンス: MATEやXFCEに比べるとややリソースを消費しますが、近年のPCではその差をほとんど感じることはないでしょう。

MATE（マテ）

MATEは、かつてのGNOME 2（Ubuntu 10.04まで使用されていたデスクトップ環境）をベースに開発されました。

XFCE（エックスエフシーイー）

XFCEは、3つのエディションの中で最も軽量なデスクトップ環境です。

特徴: 非常にシンプルで、リソースの消費を最小限に抑えるように設計されています。アニメーションや視覚効果は控えめですが、カスタマイズ性が高く、高速な動作が魅力です。
推奨ユーザー: 古いPCや低スペックのPCでLinux Mintを使用したいユーザー、またはパフォーマンスを最優先するユーザーに最適です。
パフォーマンス: Cinnamon、MATEの中で最も軽量で、古いハードウェアでも快適に動作します。

【まとめ】

好みの問題もありますが、スペックやデスク容量に余裕があれば「Cinnamon」がおすすめです。　古いパソコンにインストールする場合は「XFCE」が良いと思います。

Linux Mintのデスクトップ環境3種類の違い