音の共振を利用した消音器～ヘルムホルツ型の消音器～で書いた
ヘルムホルツ共鳴の固有振動数について解説します。
(注) ヘルムホルツ共鳴の代表例は、
ペットボトルに口をつけて吹くと発生する音です。
ヘルムホルツ共鳴
（出典：
ペットボトルを吹いて高い音が聞こえるのはどっち？という話：クイズ！あなたは小学５年生より賢いの？【2020/12/11】）
最初に、結果を書きます。
以下の形状のヘルムホルツ共鳴の固有振動数は
ここに、c:音速,S:円筒断面積,L:円筒長さ,r:円筒半径,V0:閉鎖体積
解説：
モデル：体積V0の閉空間に半径rの円形ダクト(長さL)がつながった
下図のモデルを考える。
モデル
この時、円形ダクト部は体積V0の閉空間の空気の振動で運動する。
このことより、
上図、右のばねモデルで記述できる空気の運動ができるのは容易に想像できる。
そうすると、上図、右のばねの固有振動数は以下の式で表せるので、
まず、体積変化に伴う反発力は
F=S(p-p0) (式2)
次にpを求めてみる。
体積V0の閉空間の圧縮性で決まることと
この部分の空気の体積変化によって、温度変化はないと
考えられることより、断熱圧縮の状態方程式から
ここに、
p0:初期圧力,p:圧縮後圧力,V0:初期体積,V:圧縮後体積,γ:比熱比
次にVは以下の式で表せるので、
Ｖ＝Ｖ0 － Ｓ・ｘ
Ｓ・ｘ は Ｖ0 に比べ微少量なので、ε<<1 に対する近似式
（1＋ε)a ≒ 1＋ａ・ε より、
Ｐ＝Ｐ0(1+(γＳ/Ｖ0)・ｘ) (式4)
(式2),(式4)より、
F=－p0(γＳ2/Ｖ0)・ｘ (式5)
一方、ばねの反力は
F=k・ｘ (式6)
なので、
k=γP0Ｓ2/Ｖ0 (式7)
次に、質量について考えると・・・
質量(m)=空気密度(ρ)*(円筒部の体積+空気の解放部体積(半球))
≒空気密度(ρ)*断面積(S)*(円筒長さ(L)+円筒半径(r))
=ρS(L+r) (式8)
(注) 半球の体積を長さ(r)の円筒に近似
以上より、
質量(m) =ρS(L+r) (式8)
ばね定数(k) =k=γP0Ｓ2/Ｖ0 (式7)
ばねの固有振動数=ヘルムホルツ共振振動数は
式(1)に式(7),式(8)を代入すると、
ここで、断熱圧縮の音速(c)の以下の関係をもちいると
ヘルムホルツ共振振動数は、結局・・・
