【はじめてのプチコン】コンピュータ実数（１０進→２進）

チェックポイント 前回はコンピュータの扱う２進数を我々の扱う１０進数へ変換してみました。 今回は逆に１０進数を２進数に変換してみます。 ここでは変換を覚える必要はありませんが、なぜこの様な知識が必要なのかは覚えておいてください。 プログラミングする際に必要な知識とつながっています。

まず整数の１０を２進数に変換してみます。
変換する場合は２で割っていきます。
このときの商と余りを記述します。

１０　÷　２　＝　５　…　０

商は５なのでまた割ります。

５　÷　２　＝　２　…　１

商は２なのでまだ割ります。

２　÷　２　＝　１　…　０

これで商がになりました。
ここまで計算します。

１０　÷　２　＝　５　…　０　←④
５　÷　２　＝　２　…　１　←③
２　÷　２　＝　１　…　０　←②
　　　　　　　　↑
　　　　　　　　①

①から④へ順番に左から右へ書き直します。

　　①②③④
　　↓↓↓↓
＆Ｂ１０１０

すると２進数に変換されています。

では実数の場合はというと、実数の整数部は整数なので上の方法で変換できます。
小数部も理論的には同じなのですが変換する方法を変えてみましょう。

たとえば少数０．７５はどうなるでしょうか？
この場合１を２で割っていきます。
その商が変換する値から引けた場合には引いて１を横に記述します。
引けないときは０を記述していきます。
小数部の計算終了は２進数何桁目まで計算するかで決まります。
ここでは４桁まで計算してみましょう。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．７５
まず　１　÷　２　＝　０．５　　　－　０．５
　　　　　　　　　　　　　　　　　────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．２５　　　　引けたので　…　１　←①
０．５　÷　２　＝　－０．２５　　－　０．２５
　　　　　　　　　　　　　　　　　────────
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　０　　　　引けたので　…　１　←②

今回は４桁計算する前に０になったので終わります。

これを①から②へ順番に左から右へ書き直します。

すると１１００となります。

たとえば実数１０．７５の場合、整数部が２進４桁、小数部が２進４桁であらわされていたら、

＆Ｂ１０１０▲１１００　　となります。（▲が小数点だとすると・・・）

プチコンの場合には小数部が１２桁になります。

では本題の０．１はどうなるか…

　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　　０．１
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．５
──────────────────────────────
　　０．５　　　　　　　　　　　　　　　　０．１　　　　　　　引けなかった　　　０
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．２５
──────────────────────────────
　　０．２５　　　　　　　　　　　　　　　０．１　　　　　　　引けなかった　　　０
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．１２５
──────────────────────────────
　　０．１２５　　　　　　　　　　　　　　０．１　　　　　　　引けなかった　　　０
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．０６２５
──────────────────────────────
　　０．０６２５　　　　　　　　　　　　　０．０３７５　　　　引けた　　　　　　１
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．０３１２５
──────────────────────────────
　　０．０３１２５　　　　　　　　　　　　０．００６２５　　　引けた　　　　　　１
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．０１５６２５
──────────────────────────────
　　０．０１５６２５　　　　　　　　　　　０．００６２５　　　引けなかった　　　０
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．００７８１２５
──────────────────────────────
　　０．００７８１２５　　　　　　　　　　０．００６２５　　　引けなかった　　　０
÷　２　　　　　　　　　　　　　　　　－　０．００３９０６２５
──────────────────────────────
　　０．００３９０６２５　　　　　　　　　０．００２３４３７５　引けた　　　　　　１


え～・・・この時点で計算ミスしてるかもしれません＾＾；
計算はまだ続きます。

が・・・ここら辺で勘弁をｍ（＿＿）ｍ

ここまででわかってもらえますか？
このままだと１２桁まで計算しても計算が終わりそうに無いことが・・・

そうです！
終わりません＾＾
その分は誤差として切り捨てられます。

ですから０．１を１０回足して１にならないのはこの誤差のせいです。

少数つきで計算する場合このことを頭に入れておかないとループが終わらない無限ループというバグを生み出すことになります。

【はじめてのプチコン】コンピュータの実数（２進→１０進変換）

チェックポイント 我々が扱う数値は桁数が無限の数値を使います。 しかしコンピュータの使用する数値は扱う桁数が有限の数値を使います。 扱う桁数が有限であるのはコンピュータのメモリには限りがあるためです。 そのため扱える数値の範囲に限りがあるだけでなくある問題も生じます。

コンピュータは２進数を使っていますが、我々は１０進数を使っています。
よって数値データの処理をする際に２進数と１０進数の変換を行うことがあります。
ではここで２進数を１０進数に変換する作業を実際にやってみましょう。

まず２進数を１０進数に変換するには
２進数場合、ｎ桁目の重み（値）は２の（ｎ－１）乗となります。
要するに１桁目の重みは２の０乗となります。

普通この乗数を表すには基数の右上に上付き文字で数値を記述しますが、
ワープロでは問題ありませんが現状では表しにくいので下記のように記述します。

基数＾乗数

たとえば２の０乗であれば

２＾０

ということにしておきましょう。

たとえば下記の２進数を１０進数に変換する場合にはｎ桁目の値と重みをかけてすべてを足せばいいわけです。

＆Ｂ１０１１　の場合

１桁目の値は　１　です　…　重みは　２＾（１－１）＝２＾０＝１　です。　掛けると　１×１　で　１　です。
２桁目の値は　１　です　…　重みは　２＾（２－１）＝２＾１＝２　です。　掛けると　１×２　で　２　です。
３桁目の値は　０　です　…　重みは　２＾（３－１）＝２＾２＝４　です。　掛けると　０×４　で　０　です。
４桁目の値は　１　です　…　重みは　２＾（４－１）＝２＾３＝８　です。　掛けると　１×８　で　８　です。

これらをすべて足すと…　　８＋０＋２＋１＝１１　となります。


プチコンは３２ビットで数値を表現しています。
ただし固定小数点方式ですが…

では普通に３２ビットの場合はどうなるかを考えます。

１）コンピュータにおける３２ビットの整数表現の場合

　３３３２　２２２２　２２２２　２１１１　１１１１　１１１
　２１０９　８７６５　４３２１　０９８７　６５４３　２１０９　８７６５　４３２１　桁目
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　▲少数点の位置

　００００　００００　００００　００００　００００　００００　１０００　００００
　この場合８桁目が１なので→２＾（８－１）＝２＾７＝１２８です。

ちなみに２＾ｎとは１に２をｎ回掛けるという意味です。（念のために）

２＾７＝（１×２）×２×２×２×２×２×２
　　　＝（２×２）×２×２×２×２×２
　　　＝（４×２）×２×２×２×２
　　　＝（８×２）×２×２×２
　　　＝（１６×２）×２×２
　　　＝（３２×２）×２
　　　＝６４×２
　　　＝１２８


２）プチコンにおけ３２ビットの固定小数点方式の実数表現の場合

　２１１１　１１１１　１１１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　１１１
　０９８７　６５４３　２１０９　８７６５　４３２１　１２３４　５６７８　９０１２　桁目
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１　１１１１
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　▲少数点の位置
　　　　　　　　　　　整数部　　　　　　　　　　　　　　　　　小数部　　　　　

固定小数点は決められた位置に小数点があると想定して数値を表します。
整数部分は１の場合と同じです。
小数部分は桁数を下記の図のように表すと小数点すぐ右が小数部１桁目です。
このときのｍ桁目の重みは　２＾（－ｍ）　です。

これは

　　１
━━━
　２＾ｍ

です。


たとえば小数部１桁目の重みは

　　　　１　　　
　　━━━
　　　２＾１

　　　　１
＝　━━━
　　　　２

＝　０．５

あとは同じです。



今度は１０進数を２進数に変換してみます。

つづく

【はじめてのプチコン】固定少数点方式の実数

チェックポイント プチコンで扱う数値は固定小数点方式の実数です。 人が計算する場合その数値は固定小数点方式で表す方が一般的です。 ただし、同じ少数でも我々が計算する少数とコンピュータの少数は違うものなのです。 ここではそのことについて理解しておきましょう。

皆さん、次の計算を行った結果答えはいくつになりますか？

変数Ｘに０を入れておくき、変数Ｘに１０回１を足します。
変数Ｘの内容はいくらでしょうか？

これをプログラムしてみます

■プログラム

0001 ' Sample program 0002 X = 0 0003 N = 10 0004 @LOOP 0005 X = X + 1 0006 N = N - 1 0007 IF N != 0 GOTO @LOOP 0008 PRINT X 0009 END

ここで変数Ｘに０を入れておきます。これが初期化です。
変数Ｎは足す回数を記憶しておきます。
１０回足すので初期値として１０を代入しておきます。
５行目で変数Ｘに１を足します。
６行目で加算回数を記憶している変数Ｎから１を引きます。
７行目で変数Ｎが０でないときはまだ１０回加算していないのでラベル＠ＬＯＯＰへジャンプします。
変数Ｎが０のとき１０回加算したので変数Ｘの内容を表示し終了します。

実際に実行してみると答えは・・・１０ですよね。

では変数に０．１を１０回足すとどうなるでしょうか？
サンプルプログラムを変更します。

■プログラム

0001 ' Sample program 0002 X = 0 0003 N = 10 0004 @LOOP 0005 X = X + 0.1 0006 N = N - 1 0007 IF N != 0 GOTO @LOOP 0008 PRINT X 0009 END

結果はどうでしょうか？
たぶん０．１を１０回０にたしたのだから計算式は

０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１＋０．１

ということで結果は１になるはずです。
実際にこのプログラムを実行したら結果はどうなるでしょうか？

つづく