熱力学

ここで、スペシャル

２変数の全微分の式は、一般的に、次ぎのように書けます

ｄＸ＝（∂Ｘ／∂ｘ）ｙｄｘ＋（∂Ｘ／∂ｙ）ｘｄｙ

ここで、（∂Ｘ／∂ｘ）ｙ　は、ｙを定数と見なしたときに、Ｘのｘによる微分（偏微分）を表します

Ｘ＝ｘ＾２＊ｙ、とすると

ｄ（ｘ＾２＊ｙ）＝（２ｘ＊ｙ）ｄｘ＋（ｘ＾２）ｄｙ

になります

ここで、ｄｙ＝０（ｙは定数）とすると

∂Ｘ＝（∂Ｘ／∂ｘ）∂ｘ

Ｘ＋Ｃ＝∫∂Ｘ＝∫（∂Ｘ／∂ｘ）∂ｘ　　ｙを定数とした積分、になります

それに対して、ｄＸ　が、全微分ではないとき

ｄＸ＝ｆ（ｘ、ｙ）ｄｘ＋ｇ（ｘ、ｙ）ｄｙ

のとき、一般に、線積分になりまして、この場合、曲線として、ｘ＝ｘ（ｔ）、ｙ＝ｙ（ｔ）、とパラメータ表示すると、この式は、経路に依存して

ｄＸ＝ｆ（ｘ、ｙ）＊（ｄｘ／ｄｔ）ｄｔ＋ｇ（ｘ、ｙ）＊（ｄｙ／ｄｔ）ｄｔ

ここで、線積分は

∫（ｆ（ｘ（ｔ）、ｙ（ｔ））＊（ｄｘ（ｔ）／ｄｔ）＋ｇ（ｘ（ｔ），ｙ（ｔ））＊（ｄｙ（ｔ）／ｄｔ））ｄｔ

になります

これは、全微分の一般で、積分の経路（経路）が、閉じた線上にある場合、この場合、一般に

§ｆ（ｘ、ｙ）ｄｘ＋ｇ（ｘ、ｙ）ｄｙ≠０

特別な場合、ｄＸが全微分の場合、積分路によらず

§ｄＸ＝§（∂Ｘ／∂ｘ）ｄｘ＋（∂Ｘ／∂ｙｄｙ＝０

になります